1、2015年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合M= xZ|4x2 ，N=x|x24，则MN等于（） A （1，1） B （1，2） C 1，0，1 D 1，1，2【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 根据集合的基本运算进行求解【解析】： 解：M= xZ|4x2 =3，2，1，0，1，N=x|x24=x|2x2，则MN=1，0，1，故选：C【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知i是虚数单位，是z=1+i的共轭复数，则在复平面内对应的点在
2、（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解析】： 解：z=1+i，=1i，z2=（1+i）2=2i，=在复平面内对应的点在第三象限，故选：C【点评】： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题3（5分）已知sin（+）=，则cos2等于（） A B C D 【考点】： 二倍角的余弦【专题】： 三角函数的求值【分析】： 由诱导公式及已知可求cos，利用二倍角的余弦函数公式即可求值【解析】： 解：sin（+）=cos=，cos2=
3、2cos21=21=故选：D【点评】： 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题4（5分）已知圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为，则实数m的值为（） A 1 B 2 C 3 D 1【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由双曲线mx2+y2=1，化为标准方程，利用离心率e=，即可求出m的值，【解析】： 解：圆锥曲线mx2+y2=1为双曲线，即：=1，圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为，e2=1+=2，m=1故选：A【点评】： 本题考查双曲线的性质和标准方程，将方程化为标准方程是关键5（5分）已知向量=（1，n），=（1，n），
4、若2与垂直，则n2的值为（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值【解析】： 解：向量=（1，n）=（1，n），则2=（3，n），若2与垂直，则（2）=0，则有3+n2=0，n2=3故选C【点评】： 本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查向量的垂直的条件，考查运算能力，属于基础题6（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（） A 0 B 1 C 4 D 8【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由约束条件作出可行域，
5、化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】： 解：由约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=，由图可知，当直线y=过点A（1，1）时，目标函数取得最小值为1+21=1故选：B【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（5分）设a=，b=，c=，则（） A cba B abc C bac D bca【考点】： 对数值大小的比较【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用指数与对数函数的单调性即可得出【解析】： 解：a=，b=1，c=1，bca，故选：D【点评】： 本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题
6、8（5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为则该几何体的俯视图可以是（） A B C D 【考点】： 简单空间图形的三视图【分析】： 根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，得到底面是一个半径为1的四分之一圆，在四个选项中，只有D合适【解析】： 解：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，底面是一个半径为1的四分之一圆，故选D【点评】： 本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题9（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（） A B C D 【考点】： 循环结构【专题
7、】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2016时，刚好满足条件a2015，则退出循环，输出S的值为【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4第4次运行，S=，a=5第2015次运行，S=，a=2016刚好满足条件a2015，则退出循环，输出S的值为故选：B【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=Asin（x+4）（A0，0，0）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐
8、标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（） A g（x）=2sinx B g（x）=2sin2x C g（x）=2sinx D g（x）=2sin（2x）【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由图象可得A，T，可解得，由图象过点C（0，1），可得sin4=，结合范围0，解得4=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（x+）的图象变换即可得解【解析】： 解：由图象可知，A=2，T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4），图象过点C（0，1），1=2sin4，即sin4=，0，04，4
9、=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x）故选：D【点评】： 本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基本知识的考查11（5分）已知点A（，1）在抛物线C：x2=2py（p0）的准线l1上，过点A作一条斜率为2的直线l2，点P是抛物线上的动点，则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是（） A B C 2 D 【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；
10、圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离【解析】： 解：由题意，抛物线的焦点为F（0，1），则直线l2的方程为2xy4=0，过点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离d=，所以点P到直线
11、l1和到直线l2的距离之和的最小值是故选：B【点评】： 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题12（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在，e上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（） A e1，2 B e2，2 C e，1+e D 1e，1+e【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由题意知|lnx+m|1，变形得
12、m1lnx+m+1，令h（x）=lnx+ （），则问题转化为函数h（x）的值在m1，m+1，对函数h（x）求导即可得h（x）在，e上的最值情况，对比后即可答案【解析】： 解：函数f（x）=lnx与g（x）=在，e上是“密切函数”，对任意的xa，b，都有|f（x）g（x）|1，即|lnx+m|1，从而m1lnx+m+1，令h（x）=lnx+ （），则h（x）=，从而当x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0；当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，故h（x）在，e上的最小值为1，最大值为e1，所以m11且m+1e1，从而e2m2，故选：B【点评】： 本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求
13、导讨论函数的单调性，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知函数f（x）=，则f（f（10）的值为2【考点】： 对数的运算性质【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 根据分段函数的解析式及自变量的取值代入运算即可【解析】： 解：f（10）=lg10=1，f（1）=1231=2，所以f（f（10）=f（1）=2，故答案为：2【点评】： 本题考查分段函数求值、对数的运算性质，属基础题14（5分）某校开展绘画比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，但复核员在复核时，发现
14、有一个数字（茎叶图中的x）无法看清若记分员计算无误，则数字x应该是1【考点】： 茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 讨论x与5的关系，利用平均数公式列出关于x的方程解之【解析】： 解：当x5时，所以x5，解得x=1；故答案为：1【点评】： 本题考查了茎叶图，关键是由题意，讨论x与5的关系，利用平均数公式解得x的值15（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bca2=0，则的值为【考点】： 余弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的度数，表示出B的度数，原式利用正弦定理化简后，整理即可求出
15、值【解析】： 解：在ABC中，b2+c2+bca2=0，即b2+c2a2=bc，cosA=，即A=120，利用正弦定理化简得：=故答案为：【点评】： 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键16（5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+【考点】： 点、线、面间的距离计算【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 有条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，相加即得所求【解析】： 解：由题意可得，蛋巢的底面是边
16、长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+，故答案为：+【点评】： 本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（nN*）（1）求an的通项公式；（2）设bn=，试求bn的前n项和Tn【考点】： 数列递推式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）先由数列递推式求得首项，再
17、取n=n1得另一递推式，两式作差可得an是首项和公比都为2的等比数列，则其通项公式可求；（2）把数列an的通项公式代入bn=，整理后利用错位相减法求bn的前n项和Tn【解析】： 解：（1）当n=1时，由Sn=2an2，及a1=S1 可得a1=2，由Sn=2an2，可得Sn1=2an12（n2），由得：an=2an1（n2）故an是首项和公比都为2的等比数列，通项公式为；（2）由（1）可得：bn=则+324+n2n+1两式相减可得：=【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题18（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，ADC=90，ABCD，
18、AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体DABC中（1）求证：BC平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得ACBC，取AC中点E，连接DE，则DEAC，从而ED平面ABC，由此能证明BC平面ACD（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EFAD，三棱锥FBCE的高h=BC，SBCE=SACD，由此能求出三棱锥FBCE的体积
19、【解析】： （1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，AC2+BC2=AB2，ACBC取AC中点E，连接DE，则DEAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DE平面ACD，从而ED平面ABC，EDBC又ACBC，ACED=E，BC平面ACD（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，E是AC中点，EFAD，又EF平面BEF，AD平面BEF，AD平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥BACD的高，三棱锥FBCE的高h=BC=2=，SBCE=SACD=22=1，所以三棱锥FBCE的体积为：VFBCE=1=【点评】： 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题
20、时要注意空间思维能力的培养19（12分）2015年3月份全国两会召开后，中国足球引起重视，某校对学生是否喜欢足球进行了抽样调查，男女生各抽了50名，相关数据如下表所示：（1）用分层抽样的方法在喜欢足球的学生中随机抽取6名，男生应该抽取几名？（2）在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰有1名女生的概率（3）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系？参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】： 独立性检验的应用；分层抽样方法【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： （1）求出抽样比，由此能求出男生应抽取人数（2）随机抽取6名，有4名男生，2名女生，任取2名，共有
21、=15种方法，恰有1名女生有42=8种方法，由此能求出恰有1名女生的概率（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论【解析】： 解：（1）喜欢足球的学生有48人，随机抽取6名，男生应该抽取32=4人；（2）随机抽取6名，有4名男生，2名女生，任取2名，共有=15种方法，恰有1名女生有42=8种方法，恰有1名女生的概率为（3）K2=10.2567.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系【点评】： 本题考查概率的求法，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础20（12分）已知椭圆=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆（x2）2
22、+（y2）2=相切（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A，B，与y轴交于点C，且AB中点与FC的中点重合，求AOB（O为坐标原点）的面积【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）由，可得a=c，可得椭圆的方程：过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=xc，由于此直线与圆（x2）2+（y2）2=相切，可得=，解得c，即可得出椭圆的方程（2）设直线l的方程为：y=k（x1），C（0，k），设FC的中点为M（x0，y0），可得M与椭圆方程联立化为（2k21）x24k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
23、，由中点坐标公式与根与系数的关系可得：k2=利用|AB|=点O到直线l的距离d=，SAOB=【解析】： 解：（1），可得a=c，b2=a2c2=c2，椭圆的方程可化为：过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=xc，此直线与圆（x2）2+（y2）2=相切，=，解得c=1，椭圆的方程为：（2）设直线l的方程为：y=k（x1），C（0，k），设FC的中点为M（x0，y0），可得M由，化为（2k21）x24k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，解得k2=x1+x2=1，x1x2=则|AB|=点O到直线l的距离d=SAOB=【点评】： 本题考查了椭圆与圆
24、的标准方程及其性质、直线与椭圆方程相交转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知函数f（x）=+lnx（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）=0在e2，e2上恰有两个实根，且a恒成立，求实数m的取值范围【考点】： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （1）求函数的导数，根据函数在x=1处的切线的斜率为，建立方程关系即可求出a以及f（x）的单调区间；（2）构造函数，求函数的导数，研究函数
25、的最值即可解决不等式恒成立问题【解析】： 解：（1）由f（x）=+lnx得f（x）=+，若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为，f（1）=2a+1=，解得a=，即f（x）=+=，（x0），由f（x）0得x，由f（x）0得0x，即函数的单减区间为（0，），递增求解为（，+）（2）由f（x）=0得+lnx=0，得a=x2lnx，在e2，e2上成立，设g（x）=x2lnx，则g（x）=2xlnxx=x（2lnx+1），由g（x）=0得2lnx+1=0，解得x=，当xe2，）时，g（x）0，当x（，e2），g（x）0，故g（x）在e2，）上单调递增，在（，e2）上单调递减，故g（x）在e2，e2上的极
26、大值为g（）=，而g（e2）=，g（e2）=2e4，显然g（e2）g（e2），故a的取值范围是，），令h（a）=a，a，），则h（a）=1，令h（a）=0，解得a=，则a，）时，h（a）0，故h（a）在，）上单调递增，故h（a）的最小值为h（）=，故只需要，即m23m+20，解得1m2，即实数m的取值范围是（1，2）【点评】： 本题主要考查导数的几何意义，以及导数和不等式的综合应用，考查学生的推理和运算能力二.请考生在22、23、24三题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，ABC的顶点都在圆O上，点P在BC的延长线上，且PA与圆O切于点A（1
27、）若ACB=70，求BAP的度数；（2）若=，求的值【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 选作题；推理和证明【分析】： （1）若ACB=70，证明ACB+BAP=ACB+ACP=180，即可求BAP的度数；（2）证明PACPBA，利用切割线定理，结合=，求的值【解析】： 解：（1）PA与圆O切于点A，CAP=ABC，ACP=ABC+BAC，ACP=PAC+BAC=BAP，ACB+BAP=ACB+ACP=180，ACB=70，BAP=110；（2）由（1）得CAP=ABC，APC=APC，PACPBA，PA=，PA2=，由切割线定理可得PA2=PBPC，PBPC=，=【点评】： 本题考查切割
28、线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，圆C的方程为=2acos（a0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围【考点】： 参数方程化成普通方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （）根据2=x2+y2，x=cos，y=sin把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可【解析】： 解：
29、（）由得，则，直线l的普通方程为：4x3y+5=0，（2分）由=2acos得，2=2acos又2=x2+y2，cos=x圆C的标准方程为（xa）2+y2=a2，（5分）（）直线l与圆C恒有公共点，（7分）两边平方得9a240a250，（9a+5）（a5）0a的取值范围是（10分）【点评】： 本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+3|，xR（1）解不等式f（x）5；（2）若不等式t2+3tf（x）在xR上有解，求实数t的取值范围【考点】： 绝对值不等式的解法【专
30、题】： 不等式的解法及应用【分析】： （1）由条件根据绝对值的意义求得不等式f（x）5的解集（2）由题意可得则t2+3tfmin（x）=4，由此求得实数t的取值范围【解析】： 解：（1）函数f（x）=|x1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到3、1对应点的距离之和，而3.5、1.5对应点到3、1对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）5的解集为x|3.5x1.5（2）若不等式t2+3tf（x）在xR上有解，则t2+3tfmin（x）=4，解得t4，或t1，故实数t的取值范围为t|t4，或t1【点评】： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题
