1、课时素养检测三十八函数模型的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年,该产品的产量y满足()A.y=a(1+5%x)B.y=a+5%C.y=a(1+5%)x-1D.y=a(1+5%)x【解析】选D.今年产量为a,经过1年后产量为y=a(1+5%),经过2年后产量为y=a(1+5%)2,以此类推,经过x年后产量为y=a(1+5%)x.2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数, k,b
2、为常数),若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是()A.22小时B.23小时C.33小时D.24小时【解析】选D.由题意可得x=0时, y=192, x=22时,y=48,代入y=ekx+b,可得eb=192, e22k+b=48,即有e11k=,eb=192,则当x=33时, y=e33k+b=192=24.3.“红豆生南国,春来发几枝?”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图.那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数:y=2tB.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3D.二次函数:y
3、=2t2【解析】选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数,并且增长速度很快,符合指数型函数模型,且图象过点(1,2),所以图象由指数函数来模拟比较好.4.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出, t min后剩余的细沙量为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过_min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.()A.8B.16C.24D.32【解析】选B.依题意有ae-8b= a,即e-8b= ,两边取对数得-8b=ln =-ln 2,所以b=,所以y=a.当容器中只有开始时的八分之一时,则有a=a,所以=,两边取对数得-t=
4、ln =-3ln 2,所以t=24,所以再经过的时间为24-8=16(min).5.为了给地球减负,提高资源利用率,2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.20.079,lg 20.301)()A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年【解析】选C.由题意,可设经过n年后,投入资金为y万元,则y=5 000(1+20%)n.由题意有5 000(1+20%)n12 800,即1.2n
5、2.56,则nlg 1.2lg 2.56=lg 28-2,所以n5.16,所以n=6,即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.6.(多选题)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况判断正确的是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品【解析】选BD.由该车间持续5个小时的生产总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,得:前
6、3小时的产量逐步减少,故A错,B正确;后2小时均没有生产,故C错,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=_,经过5 h,1个病毒能繁殖为_个.【解析】因为当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1 024.答案:2ln21 0248.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=kax(a0且a1),xN*.当商品上
7、架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为_元.【解析】由题意可得方程组:结合a0且a1可得 即 y=128,则该商品上架第4天的价格为128=40.5,即该商品上架第4天的价格为40.5元.答案:40.5三、解答题9.(10分)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】方法1:因为每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为.依题意,得,即,因为=,=,所以由题意知至少应过滤8次才能使产品达
8、到市场要求.方法2:接方法1:()n,则n(lg2-lg3)-(1+lg2),即n7.4,又nN*,所以n8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.(30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020九江高一检测)国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税,超过800元的但不超过4 000元的按超800元14%纳税,超过4 000元的按全稿费的11.2%纳税,张先生出了一本书共纳税420元,则张先生的稿费(扣税前)为()A.3 600元B.3 800元C.4 000元D.4 200元【解析】选B.设稿费为x元,纳税额为y元,则纳税额y与稿费x的函数关系为y=由于张先生纳
9、税420元,令(x-800)0.14=420,解得x=3 800元,令0.112x=420,得x=3 750(舍去),故可得张先生的稿费(扣税前)为3 800元.2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【解析】选A.由题意可得:(1+10%)3(1-10%)30.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为:略有亏损.3.一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的
10、半衰期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期.精确到0.1.已知lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.5.2B.6.6C.7.1D.8.3【解析】选B.设半衰期为x,则有500(1-10%)x=250,即=,取对数得x(lg 9-1)=-lg 2,所以x=6.6.4.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg,健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 20.30,lg 30.4
11、8)()A.B.C.D.【解析】选C.因为=10-14,所以=1014,因为7.35-lg7.45,所以10-7.4510-7.35,所以10-0.9=1014, lg=0.7lg 3lg 2,所以100.732,10-0.7,所以.二、填空题(每小题5分,共10分)5.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间、时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln.当燃料质量是火箭质量的_倍时,火箭最大速度可达1
12、2 km/s.(e6403.429,结果保留整数)【解析】已知v=2 000ln,火箭的最大速度可达12 km/s,故12 000=2 000ln.可得ln=6,1+=e6,解得=e6-1402.答案:4026.设在海拔x(单位:m)处的大气压强为y(单位:kPa),y与x的函数关系可近似表示为y=100eax,已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa,则根据函数关系式,在海拔2 000 m处的大气压强为_kPa.【解析】将(1 000,90)代入 y=100eax,可得a=,y与x的函数关系可近似表示为y=100,当x=2 000时, y=100(eln 0.9)2=81.答案:8
13、1三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2020柳州高一检测)电子芯片是“中国智造”的灵魂,是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司,通过大数据分析,得到如下规律:生产一种高端芯片x(0x10)万片,其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为800万元,并且每生产1万片的生产成本为200万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入F(x)(单位:万元)满足F(x)=假定生产的芯片都能卖掉.(1)将利润f(x)(单位:万元)表示为产量x(单位:万片)的函数.(2)当产量x(单位:万片)为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?【解析】(1)当产量为x万片时,由题意得G(x)=
14、800+200x.所以f(x)=F(x)-G(x)=(2)由(1)可得,当0x6时,f(x)=-400(x-5)2+9 200.所以当x=5时,f(x)max=9 200(万元).当6x10时,f(x)=600x-1 800,f(x)单调递增,所以f(x)f(10)=4 200(万元).综上,当x=5时,f(x)max=9 200(万元),即当产量为5万片时,公司所获利润最大,最大利润为9 200万元.8.(2020石家庄高一检测)“绿水青山就是金山银山”,随着我国经济的快速发展,国家加大了对环境污染的治理力度,某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察,发现该厂产生的废气经过过滤排放,过滤过程中废气的污染物数量P千克/升与时间t小时间的关系为P=P0e-kt,如果在前5个小时消除了10%的污染物.(1)10小时后还剩百分之几的污染物.(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1小时).参考数据:ln 20.69,ln 0.9-0.11.【解析】(1)由题意可知P0e-5k=0.9P0,故e-5k=0.9,所以e-10k=0.81,即t=10时,P=0.81P0.故10小时后还剩81%的污染物.(2)令e-kt=0.5可得(e-5k=0.5,即0.=0.5,所以=log0.90.5,即t=5log0.90.5=32.故污染物减少50%需要花32小时.
