1、椭圆专题检测1.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为()A.23B.26C.42D.43答案D依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2a2-c2=216-4=43.2.(2018广西桂林、柳州联考,10)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,若PF1PF2,tanPF2F1=2,则椭圆的离心率e=()A.53B.13C.23D.12答案A依题意,设|PF2|=m,则有|PF1|=2m,|F1F2|=5m,则椭圆的离心率e=|F1F2|
2、PF1|+|PF2|=5m3m=53.故选A.3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故|AB|=3,所以内切圆半径r=2SC=68=34(其中S为ABF1的面积,C为ABF1的周长).故选D.一题多解由椭圆的通径公式得|AB|=2b2a=3,则SABF1=1223=3,又易得ABF1的周长C=4a=8,则由SABF
3、1=12Cr可得r=34.故选D.4.(2020陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C:x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且MA=AN,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为()A.1B.12C.13D.14答案B设M(x1,y1),N(x2,y2),则x128+y122=1,x228+y222=1,两式相减可得(x1-x2)(x1+x2)8+(y1-y2)(y1+y2)2=0,又由题意知A为线段MN的中点,故Ax1+x22,y1+y22,故kOAkMN=-14,因为|OA|=|AF2|,所以kOA=-kMN,所以kMN=12,故直线l的
4、斜率为12.5.(2018广东惠州三调,16)设A、B为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A,B的点P,使得POPB=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是.答案22,1解析由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则PO=(-x,-y),PB=(a-x,-y),又POPB=0,(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-x20,0xa.将y2=ax-x2代入x2a2+y2b2=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,由题意知该方程在(0,a)上有解.设f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2,f(0)=-a2b20,
5、f(a)=0,只需0,0-a32(b2-a2)2b2,又b2=a2-c2,c2a212,又0e1,22e1.解题关键求出点P的轨迹方程,并将问题转化为一元二次方程在一区间上有解的问题是解题的关键.6.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆x24+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是.答案733解析依据圆的性质可知,P,Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3,设Q(x,y),则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d=x2+(y-1)2=-3y2-2y+5=-3y+132+163,-1y1,当y=-13时,d取最大值43
6、3,所以P、Q两点间的最大距离为dmax+3=733.解题关键通过圆的性质把P、Q两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径是求解本题的关键.7.(2018江苏高邮高三期初)已知椭圆x216+y29=1上一点P到其右焦点F2的距离为5,则点P到其左准线的距离为.答案1277解析易知e=c2a2=74,设椭圆的左焦点为F1,则|PF1|=2a-|PF2|=8-5=3,设点P到左准线的距离为d,由椭圆的第二定义可得|PF1|d=3d=74,解得d=1277.即点P到左准线的距离为1277.8.(2020吉林梅河口五中4月月考,16)椭圆C:x24+y2=1的左,右焦点分别为F1
7、,F2,点M为其上的动点,当F1MF2为钝角时,点M的纵坐标的取值范围是.答案-1,-3333,1解析设M(x,y).由题意知F1(-3,0),F2(3,0),F1MF2为钝角cosF1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1|MF2|0|MF1|2+|MF2|2|F1F2|2(x+3)2+y2+(x-3)2+y2b0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知F1PF2=120,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为.答案134解析设|PF2|=m,|PF1|=3|PF2|,|PF1|=3m,由4m=2a,4c2=m2+9m2-2m3mcos120,可得4c2
8、=13a24,离心率e=ca=134.12.(2019江苏淮阴中学期初)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为.答案63解析不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),根据椭圆与正方形的对称性,可画出满足题意的图形,如图所示,因为|OB|=a,所以|OA|=22a,所以点A的坐标为a2,a2,又点A在椭圆上,所以a24a2+a24b2=1,所以a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以椭圆的离心率e=ca=63.13.(2019江苏海安中学月考)设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一
9、点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.答案15解析如图,|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+(6-3)2+42=15.14.(2019北京丰台一模文,20)已知椭圆W:x2+2y2=2,直线l1:y=kx+m(km0)与椭圆W交于A,B两点,直线l2:y=kx-m与椭圆W交于C,D两点.(1)求椭圆W的离心率;(2)证明:四边形ABCD不可能为矩形.解
10、析(1)由题知a2=2,b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=1,则e=ca=22,所以椭圆W的离心率为22.(2)证明:由于两直线关于原点中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形,所以不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-x1,-y1),D(-x2,-y2)(x1x2),则x12+2y12=2,x22+2y22=2,-得2(y22-y12)=-(x22-x12),所以kABkAD=(y2-y1)(x2-x1)(-y2-y1)(-x2-x1)=y22-y12x22-x12=-12-1.所以AB不垂直于AD.所以四边形ABCD不可能为矩形.15.(2018江苏南通高三调研测试,17
11、)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时,线段PB1的长为42.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q满足:QB1PB1,QB2PB2,求证:PB1B2与QB1B2的面积之比为定值.解析设P(x0,y0),Q(x1,y1).(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.由x2a2+y29=1,y=x+3得x2a2+(x+3)29=1.所以x0=-6a29+a2.因为|PB1|=x02+(y0-3)2=2|x0|,所以42=26a29+a2,解得a2=18.所以椭圆的标
12、准方程为x218+y29=1.(2)解法一:直线PB1的斜率为kPB1=y0-3x0,由QB1PB1,得直线QB1的斜率为kQB1=-x0y0-3.于是直线QB1的方程为y=-x0y0-3x+3.同理直线QB2的方程为y=-x0y0+3x-3.联立两直线方程,消去y,得x1=y02-9x0.因为P(x0,y0)在椭圆x218+y29=1上,所以x0218+y029=1,从而y02-9=-x022.所以x1=-x02.所以SPB1B2SQB1B2=x0x1=2.解法二:设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k,则直线PB1的方程为y=kx+3.由QB1PB1,得直线QB1的方程为y=-1kx+3.
13、将y=kx+3代入x218+y29=1,得(2k2+1)x2+12kx=0,因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x00,从而x0=-12k2k2+1.因为P(x0,y0)在椭圆x218+y29=1上,所以x0218+y029=1,从而y02-9=-x022.所以kk=y0-3x0y0+3x0=y02-9x02=-12,得k=-12k.由QB2PB2,得直线QB2的方程为y=-1kx-3=2kx-3.联立y=-1kx+3,y=2kx-3,得x=6k2k2+1,即x1=6k2k2+1.所以SPB1B2SQB1B2=x0x1=-12k2k2+16k2k2+1=2.评析第(2)问有两种解法,是选用
14、不同的参数求解的,解法一是用点参数,解法二是用斜率作为参数表示其他量,这是两种常用方法.16.(2018江苏南京、盐城高三二模,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,上顶点A到右焦点的距离为2.过点D(0,m)(m0)作不垂直于x轴,y轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,C为线段PQ的中点,且ACOC.(1)求椭圆E的方程;(2)求实数m的取值范围;(3)延长AC交椭圆E于点B,记AOB与AOC的面积分别为S1,S2,若S1S2=83,求直线l的方程.解析(1)由题意得ca=22,a=2,所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆E的方程为x
15、22+y2=1.(2)解法一:由(1)得A(0,1).设P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0),其中x0,y0均不为0,且x1x2.因为P,Q两点都在椭圆E上,所以x12+2y12=2,x22+2y22=2,两式相减得y2-y1x2-x1y0x0=-12.又y2-y1x2-x1=y0-mx0,所以y0-mx0y0x0=-12,即x02=2y0(m-y0).又ACOC,所以y0-1x0y0x0=-1,即x02=y0(1-y0).由得y0=2m-1,x02=(1-2m)(2m-2)(0,2),所以12m0,所以实数m的取值范围为12,1.(3)解法一:设B(x3,y3),点B在椭圆E
16、上,所以x32+2y32=2.又ACOC,所以y3-1x3y0x0=-1,即y3=-x0y0x3+1,代入上式消去y3,得x3=4x0y0y02+2x02,所以S1S2=12AO|x3|12AO|x0|=x3x0=4y0y02+2x02.由(2)知y0=2m-1,x02=(1-2m)(2m-2),12mb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=12,点P是椭圆的上顶点的一个动点,PF1F2面积的最大值是43.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,ACBD=0,且|AC|+|BD|=967,求此时直线AC的方程.解析(1)由题意知,当点P是椭
17、圆的上顶点或下顶点时,PF1F2面积取得最大值,此时,SPF1F2=122cb=43,又e=ca=12,结合a2=b2+c2,所以a=4,b=23,c=2.所以所求椭圆的方程为x216+y212=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由ACBD=0得ACBD.当直线AC与BD有一条直线的斜率不存在时,|AC|+|BD|=14,不符合题意;设直线AC的斜率为k(k存在且不为0),则直线BD的斜率为-1k.直线AC的方程为y=k(x+2),联立y=k(x+2),x216+y212=1,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
18、16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4k2,所以|AC|=1+k2|x1-x2|=24(1+k2)3+4k2.同理可得|BD|=24(1+k2)4+3k2,由|AC|+|BD|=168(1+k2)2(4+3k2)(3+4k2)=967,解得k2=1,故直线AC的方程为y=(x+2).思路分析(1)根据离心率e=12,PF1F2面积的最大值是43,结合a2=b2+c2,即可求出a、b,从而得结果;(2)直线与曲线方程联立,根据根与系数关系,弦长公式将|AC|+|BD|用k表示,解方程即可得k的值.方法点拨求椭圆标准方程时一般利用待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,
19、b,即可得到椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.18.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为26,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且OMON=14.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=12,且直线ll时,l交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.解析(1)由题意可知2c=26,c=6,F(6,0),设A
20、(x0,y0),B(-x0,-y0),则Mx0+62,y02,N-x0+62,-y02,由OMON=6-x02-y024=14,则x02+y02=5,则|AB|=2x02+y02=25.(2)证明:直线l的斜率k=12,则l:y=12x,y0=12x0,由x02+y02=5,得A(2,1),将c=6代入椭圆方程解得a=22,b=2,椭圆的方程为x28+y22=1.由题意设l:y=12x+m(m0),联立x2+4y2=8,y=12x+m,整理得x2+2mx+2m2-4=0,=4m2-4(2m2-4)0,即m(-2,0)(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=12x1+m-1(x2-2)+12x2+m-1(x1-2)(x1-2)(x2-2)=x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)(x1-2)(x2-2)=2m2-4-2m2+4m-4(m-1)(x1-2)(x2-2)=0,即k1+k2=0.直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.
