1、专题六解析几何真题体验引领卷一、选择题1(2015广东高考)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy502(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1二、填空题7(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_8(2015湖南高考)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，
2、使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_9(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_三、解答题10(2015全国卷)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由11.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两
3、点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由12(2015天津高考)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围专题六解析几何真题体验引领卷1D设所求的切线方程为2xyc0(c1)，依题意，得，则c5.所求切线的方程为2xy50或2xy50.2A由题设，a22，b21，则c23，不妨设F1(，0)，F2(，
4、0)，则(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，解之得y00，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60.在RtBMN中，y1|MN|2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，所以双曲线E的离心率e.5A由几何图形知，.由抛物线定义，|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1.因此.6D双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，又抛物线y2
5、4x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1.7.y2由题意知，圆过椭圆的顶点(4，0)，(0，2)，(0，2)三点设圆心为(a，0)，其中a0.由4a，解得a，则半径r.所以该圆的标准方程为y2.8.不妨设F(c，0)，虚轴的一个端点为B(0，b)依题意，点B恰为线段PF的中点，则P(c，2b)，将P(c，2b)代入双曲线方程，得5，因此e.9.双曲线x2y21的渐近线为xy0.又直线xy10与渐近线xy0平行，所以两平行线间的距离d，由点P到直线xy10的距离大于c恒成立所以c，故c的最大值为.10(1)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A
6、(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)解四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP.将点的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB
7、为平行四边形11解(1)当k0时，联立可得，M(2，a)，N(2，a)或M(2，a)，N(2，a)又y.故y在x2处的导数值为，因此曲线C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.又曲线y在x2处的导数值为.所以曲线C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.ba时，有k1k20.则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜
8、角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意12解(1)由于椭圆的离心率e，且a2b2c2，a23c2，且b22c2，设直线FM的斜率为k(k0)，且焦点F(c，0)则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解之得xc或xc.因为点M在第一象限，则点M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.
