1、四川省内江市2020届高三数学三模考试试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.)1.设集合，则AB（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合指数函数的性质可得，再由集合交集的运算即可得解.【详解】由题意，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数函数性质应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.2.复数z满足（4+3i）z32i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【
2、分析】由复数的除法求出复数，得出对应点的坐标后可得其所在象限【详解】由题意，对应点为，在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握复数的除法法则是解题关键3.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A. 5B. C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.4.已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABC
3、D内部随机取一点P，则满足的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可.【详解】如图所示，以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形，其中扇形的半径为，圆心角为，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形，其面积为，正方形面积，概率为，故选A.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.5.在的展开式中，的系数为
4、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为求解展开式中项的系数；【详解】由题意分析可知，要求的系数，只需求解展开式中项的系数，因为展开式通项为，所以当时，故的系数为.故选：B【点睛】本题考查根据二项式定理的展开式求特定项的系数问题，难度一般，准确运用展开式的通项公式是关键.6.一动圆与两圆x2+y21和x2+y28x+120都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线【答案】C【解析】【分析】设动圆圆心，与两圆x2+y21和x2+y28x+120都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.【详解】设动圆圆心
5、，半径为，圆x2+y21的圆心为，半径为，圆x2+y28x+120，得，则圆心，半径为，根据圆与圆相切，则，两式相减得，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.7. 设l，m是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若l，=m，则lmB. 若l，l，则C. 若l，m，则lmD. 若l，ml，则m【答案】B【解析】试题分析：A中，若，则平行或异面，只有，才有所以A错误；B中，若，则，所以B正确；C中，若，则由线面平行的性质定理可知，平行、相交或异面，所以C错误；D中，则与平行、相交或在平面内，所以D错误，
6、故选B考点：线面位置关系的判定8.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x20，+），有0，若nN*，则（ ）A. f（n+1）f（n）f（n1）B. f（n1）f（n）f（n+1）C. f（n）f（n1）f（n+1）D. f（n+1）f（n1）f（n）【答案】A【解析】【分析】由题在单调递减，再由为偶函数，则，又，结合单调性，求得到答案.【详解】由对任意的x1，x20，+），有0，可得在单调递减，再由为偶函数，则，又，则，即.故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性的定义和应用，奇偶性的应用，属于基础题.9.设平面上向量,，若，则角大小为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解
7、析】【分析】由题意结合平面向量的运算律可得，再由平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以即，所以，所以，由可得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算律及坐标表示，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.10.如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC4，ABAC，BAC90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）A. 16+8B. 32+16C. 32+8D. 16+16【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高
8、，由此计算出该几何体的体积.【详解】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，则与上下底面垂直，所以，以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则，所以，由于异面直线和所成的角的余弦值为，所以，即.所以几何体的体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.11.已知平面内的一个动点P到直线l：x的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则MAN面积的最大值为（ ）A. B. 2C. D.
9、1【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件求得曲线C的方程，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求得MAN的面积，当直线l的斜率存在时，与曲线C的方程联立求解，求得弦长MN和点A到直线l的距离，表示MAN的面积，运用基本不等式可求得最大值.【详解】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以，化简整理得曲线C的方程为，若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点，将代入曲线中得，所以，又点A到直线l的距离，故的面积，所以，（1）当时，则；（2）当时，则；（3）当时，（当且仅当，即取等号），则；若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积，综上得：的面积的最大值为.故选：A.【点睛】本题主
10、要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化，属于较难题.12.函数f（x）+（12a）x2lnx在区间内有极小值，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a的取值范围.【详解】解：由，得 ，（1）当时， 当时，当时，所以为函数的一个极小值点，（2）当时，令，则或，当时，当时，当时，所以为函数的一个极小值点，当时，i)若，即时，时，当时，所以为函数的一个极小值点，ii)若，即时，当时，函数无极值；iii)若，即时，当时，当
11、时，所以为上的极小值点，综上a的取值范围是，故选：D【点睛】此题考查了函数极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 【答案】【解析】【分析】先画出另外两个不等式表示的区域，再调整的大小，使得不等式组表示的平面区域是一个三角形即可.【详解】解：由图可知移动这条直线易得，故答案为：.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查作图能力和对图形的分析能力14.已知tan(5)，tan()1，则tan_.【答案】【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得，转化条件为，再由两角和的正切公式即可
12、得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.函数的零点个数为_.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.【详解】令，则，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：由图象可知，函数当时，则与的图象有必有两个交点，所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.16.椭圆的右焦点，其右准线与
13、轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据F在AP的垂直平分线上，知，所以，从而求出离心率的取值范围【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而，于是，即，又，故，故答案为.【点睛】本题考查了椭圆的一些基本性质，以及的范围是解决此题的关键，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用
14、简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：男女需要40m不需要n270若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%.（1）求m，n的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式：K2.P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例，结合列联表中的数据，即可得出m，n的值；（2）计算，再由独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（1），（2）即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的
15、老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关【点睛】本题主要考查了完善列联表以及独立性检验解决实际问题，属于中档题.18.已知数列an是等差数列，且满足a66+a3，a61是a51与a81的等比中项.（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn满足bn2nan，求数列bn的前n项和Sn，并求Sn的最小值.【答案】（1）；（2），的最小值为.【解析】【分析】（1）由求出公差，再由a61是a51与a81的等比中项，求出，从而求出的通项公式；（2）根据，利用错位相减法求和，并分析，得到Sn的单调性，从而求得最小值.【详解】（1）设数列公差为，由，得，得，又，得，得，由，得.（2）由（1）得，则两式相减得
16、，即.又，则当时，当时，即故当时，有最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算和通项公式的求法、等比中项的应用，错位相减法求和，以及利用数列的单调性求最值，属于中档题.19.如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA14.（1）证明：面ACD1面BB1D；（2）求二面角B1ACD1的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由面，得到，又，则面，从而证得面ACD1面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，求出，再求面和面的法向量，从向量法求出二面角B1ACD1的余弦值.【详解】（1）由面，又面，则，又，面，面，则
17、面面，又面，则面ACD1面BB1D.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，则，由，则，得，则，得，设且面，则，令，则，设且面，则，令，则，设二面角B1ACD1为，则.【点睛】本题考查了面面垂直的判断，空间向量法求二面角，还考查了空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，属于中档题.20.已知函数在处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由题意得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；（2）利用参变量法得出对任意的恒
18、成立，构造函数，利用导数求得函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；（3）由（2）可知，当时，变形得出，利用放缩法得出，依次得到，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立.【详解】（1），该函数的定义域为，由题意可知，点在直线上，由题意得，解得，；（2）对任意的，由，得，即，令，其中，则，令，可得，列表如下：单调递增极大值单调递减所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.，因此，实数的取值范围是；（3）由（2）可知，当时，则，当时，上述不等式全部相加得.因此，对任意的，.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查
19、运算求解能力与推理能力，属于难题.21.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且定点.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可求得的值，由椭圆的离心率可求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）先利用对称性说明定点在轴上，设点，对直线是否与轴重合进行分类讨论.在直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意得出，利用平
20、面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求得的值；在直线与轴重合时，验证即可.进而可得出结论.【详解】（1）由椭圆定义可得，则，又椭圆的离心率为，则，因此，椭圆的标准方程为；（2）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为，设点、，考虑直线，设直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，如下图所示：由题意可知，直线、关于轴对称，则定点是分别以、为直径的圆的交点，由椭圆的对称性可知，点在轴上，设点的坐标为，联立，消去并整理得，恒成立，由韦达定理得，由于以为直径的圆恒过点，则，由于点为定点，则为定值，所以，解得，此时，合乎题意；当直线与轴重合时，则为椭圆的短轴，此时，点与点或点重合，合乎题意.综上所述，直
21、线恒过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点的坐标，利用对称性得出定点在轴上可简化计算，考查运算求解能力，属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共1小题，满分10分）22.在直角坐标系.xOy中，曲线C1的参数方程为（ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4sin.（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求的值.【答案】（1），,
22、；（2）【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C2的极坐标方程左右同乘，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C1化为极坐标方程，设，从而计算即得解.【详解】（1）曲线C1的参数方程为,消去参数得到普通方程：曲线C2的极坐标方程为=4sin，两边同乘得到故C2的直角坐标方程为：.（2）曲线C1化为极坐标方程,设因为曲线C3的极坐标方程为：点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.选修题（共1小题，满分0分）23.已知函
23、数，函数的定义域为R.（1）求实数的取值范围；（2）求解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）问题转化为：当时，不等式恒成立，根据绝对值性质求出函数的最小值进行求解即可；（2）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数的形式，然后分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为函数的定义域为R，所以，当时恒成立，即当时，不等式恒成立，因此只需，因为，当且仅当时取等号，即时，取等号，所以，因此，所以实数的取值范围为；（2）.当时，；当时，显然成立，所以；当时，综上所述：不等式的解集为：【点睛】本题考查了已知函数的定义域求参数取值范围，考查了解绝对值不等式，考查了绝对值的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
