1、2015-2016学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1给出下列四个命题：没有公共点的两条直线平行；互相垂直的两条直线是相交直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线；不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线其中正确的命题是（）ABCD2已知a，b是两条不重合的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若ab，a，则bB若a，b，则abC若ab，b，则aD若a，b，a，b，则3过点M（5，2），且在x轴、y轴上截距互为相反数的直线方程为（）Ax+y3=0Bx+y3=0或2x+5y=0Cxy7=0或2x+5y=0Dxy7=0或x+
2、y3=04若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该点在点P处的切线方程是（）Ax+2y5=0Bx2y+3=0C2x+y4=0D2xy=05与椭圆+=1有相同的焦点，且经过点P（，）的双曲线的离心率为（）A3BCD6如图是一个几何体的三视图，其俯视图是边长为3的正三角形，则该几何体的表面积为（）A36B36C36D187设函数f（x）是定义在R上的函数，则“x0是函数f（x）的极值点”是“f（x0）=0”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要8已知F1、F2为双曲线C：x2y2=1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=60，则P到x轴的距离为（）ABCD9直线l过点M（
3、1，2），且与以P（4，1），Q（3，0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（）A，1B2，1C（，21，+）D（，1，+）10已知函数f（x）=ax36x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（，4）D（4，+）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“x0R，x026x0+100”的否定是12在空间直角坐标系中，设A（1，3，5），B（3，6，7），则|AB|=13已知双曲线C的离心率为，焦点为F1，F2，点A在曲线C上，若|F1A|=3|F2A|，则cosAF2F1=14在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=2x2
4、+（a是常数）过点P（1，30），则函数y=2x2+在区间1，4的最大值与最小值的和为15（5分）（2014秋江西月考）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2015秋黄山期末）给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax22ax4恒成立；命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围17（12分）（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的
5、中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC18（12分）（2015秋黄山期末）已知椭圆+=1内一点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点（）若AB恰被M点平分，求直线l的方程；（）若直线l的倾斜角为，求|AB|19（12分）（2015秋黄山期末）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACB=60，AC=CC1=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点（）求证：平面ABE平面B1BCC1；（）求三棱锥EABC1的体积20（13分）（2015秋黄山期末）设抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，点F到直线3x+4y+1=0的距离为1（）求抛物线C的方程；（）
6、设直线l：xmy+2=0，求直线l与抛物线C恰有一个公共点，两个公共点时实数m的取值范围21（14分）（2015秋黄山期末）已知函数f（x）=ax2+2，g（x）=x3+bx，其中a，b都是常数（）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）在它们交点（1，c）处具有公切线，求a，b的值；（）当a2=4b时，求函数f（x）g（x）的单调区间2015-2016学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1给出下列四个命题：没有公共点的两条直线平行；互相垂直的两条直线是相交直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线；不同在任何一个平面内的
7、两条直线是异面直线其中正确的命题是（）ABCD【分析】在中，两直线有可能异面；在中，两直线有可能异面垂直；由异面直线的定义得正确【解答】解：在中，没有公共点的两条直线平行或异面，故错误；在中，互相垂直的两条直线有可能相交且垂直，有可能异面垂直，故互相垂直的两条直线也有可能是异面直线，故错误；在中，由异面直线的定义得既不平行也不相交的两条直线是异面直线，故正确；在中，由异面直线的定义得不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用2已知a，b是两条不重合的直线，是两个不同的平面，
8、则下列命题中正确的是（）A若ab，a，则bB若a，b，则abC若ab，b，则aD若a，b，a，b，则【分析】利用线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，即可得出结论【解答】解：对于A，若ab，a，则b或b，不正确；对于B，b，经过b的平面与的交线为c，则bc，a，ac，bc，ab，正确；对于C，若ab时，a与的关系可能是a，也可能是a，即a不一定成立，不正确；对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，不正确故选：B【点评】本题考查线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键3过点M（5，2），且在x轴
9、、y轴上截距互为相反数的直线方程为（）Ax+y3=0Bx+y3=0或2x+5y=0Cxy7=0或2x+5y=0Dxy7=0或x+y3=0【分析】若直线在x轴、y轴上截距互为相反数，则直线过原点，或斜率为1，结合直线过点M（5，2），可得答案【解答】解：若直线在x轴、y轴上截距互为相反数，则直线过原点，或斜率为1，当直线过原点时，方程为：2x+5y=0，当直线斜率为1时，方程为：xy7=0，故直线方程为：xy7=0或2x+5y=0故选：C【点评】本题考查的知识点是直线方程的求法，正确理解直线在x轴、y轴上截距互为相反数的含义，是解答的关键4若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该点在点P处
10、的切线方程是（）Ax+2y5=0Bx2y+3=0C2x+y4=0D2xy=0【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为=，故切线的方程为y2=（x1），即 x+2y5=0，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题5与椭圆+=1有相同的焦点，且经过点P（，）的双曲线的离心率为（）A3BCD【分析】求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为=1，设c=，即a2+b2=3，又点P（，）在双曲线上，代入P的坐标，解方程可得a，b，可
11、得c，由离心率公式可得所求值【解答】解：椭圆+=1的焦点为（，0），设双曲线的方程为=1，设c=，即a2+b2=3，又点P（，）在双曲线上，可得：=1，解得a=1，b=，c=，可得离心率e=故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用椭圆的焦点和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题6如图是一个几何体的三视图，其俯视图是边长为3的正三角形，则该几何体的表面积为（）A36B36C36D18【分析】已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，根据柱体表面积公式，可得答案【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，其底面边长为3，故底面面积为：
12、 =，底面周长C=9，高h=4，故侧面积为：49=36，故柱体的表面积S=36+2=36+，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键7设函数f（x）是定义在R上的函数，则“x0是函数f（x）的极值点”是“f（x0）=0”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【分析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系【解答】解：根据函数极值的定义可知，函数x=x0为函数y=f（x）的极值点，f（x）=0一定成立但当f（x）=0时，函数不一定取得极值，比如函数f（x）=x3函数导数f（x）=3x2，当x=
13、0时，f（x）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值所以可导函数y=f（x），x=x0为函数y=f（x）的极值点是f（x0）=0的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数取得极值与函数导数之间的关系，要求正确理解导数和极值之间的关系8已知F1、F2为双曲线C：x2y2=1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=60，则P到x轴的距离为（）ABCD【分析】设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，由余弦定理得cosF1PF2=，由此可求出P到x轴的距离【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，由余弦定理得co
14、sF1PF2=，即cos60=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选B【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力9直线l过点M（1，2），且与以P（4，1），Q（3，0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（）A，1B2，1C（，21，+）D（，1，+）【分析】由题意得 所求直线l的斜率k满足kPMk或kkMQ，用直线的斜率公式求出kPM和kMQ的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：直线l过点M（1，2），且与以P（4，1），Q（3，0）为端点的线段相交，所求直线l的斜率k满足kPMk或k
15、kMQ，即k=1，或k=，k（，1，+），故选：D【点评】本题考查恒过定点的直线系以及直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想10已知函数f（x）=ax36x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（，4）D（4，+）【分析】分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）0，解出即可【解答】解：当a=0时，f（x）=12x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax212x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下：
16、 x （，0） 0（0，） （，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax212x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）=a（）36（）2+10，化为a232，a0，a4综上可知：
17、a的取值范围是（，4）故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“x0R，x026x0+100”的否定是“xR，x26x+100”【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“x0R，x026x0+100”的否定是“xR，x26x+100”，故答案为：“xR，x26x+100”【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的否定，难度不大，属于基础题12在空间直角坐标系中，设A（1，3，5），B（3，6，7），则|AB|=13【分析】把已
18、知条件代入空间两点间的距离公式，计算可得【解答】解：A（1，3，5），B（3，6，7），|AB|=13故答案为：13【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属基础题13已知双曲线C的离心率为，焦点为F1，F2，点A在曲线C上，若|F1A|=3|F2A|，则cosAF2F1=【分析】设双曲线的方程为=1（a，b0），设A为右支上一点，且|F2A|=m，由题意可得|F1A|=3m，由双曲线的定义和离心率公式、以及余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的方程为=1（a，b0），设A为右支上一点，且|F2A|=m，由题意可得|F1A|=3m，由双曲线的定义可得|F1A|F2A|=2a，解得m=
19、a，又e=，可得c=a，在AF1F2中，|F1A|=3a，|F2A|=a，|F1F2|=2a，可得cosAF2F1=故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，注意运用离心率公式和定义法，同时考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题14在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=2x2+（a是常数）过点P（1，30），则函数y=2x2+在区间1，4的最大值与最小值的和为64【分析】由题意可得2a=30，解得a，再求函数的导数和单调区间、极值可得最小值，再计算端点的函数值，可得最大值，进而得到所求和【解答】解：由题意可得2a=30，解得a=32，则y=2x2+导数为y=4x，由2x4，可
20、得y0，函数递增，1x2时，可得y0，函数递减即有x=2处取得极小值，也为最小值24，x=1时，y=34；x=4时，y=40即有函数的最大值为40，则最值之和为64故答案为：64【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题15（5分）（2014秋江西月考）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=20【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可【解答】解：如图，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，则DF1，DF2，分别
21、是AMN，BMN的中位线，则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2（|DF1|+|DF2|）=22a=45=20故答案为：20【点评】本题考查了椭圆的定义及点的对称的应用，属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2015秋黄山期末）给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax22ax4恒成立；命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据若“pq”为真命题，“pq”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可【解答】解：若命题p为真，即对于任意实数x，都有a
22、x2+2ax+40恒成立，a=0时，40成立，a0，只需，解得：0a4，综上，若p真：a0，4）；若命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆，只需44a0，解得：a1，故，q为真时，a（，1）；若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则p，q一真一假，故a（，0）1，4）【点评】本题考察了函数恒成立问题，考察圆的方程，考察复合命题的判断，是一道中档题17（12分）（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC【分析】（）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，
23、利用F为线段PC的中点，可得PAOF，从而可证AP平面BEF；（）证明BEAP、BEAC，即可证明BE平面PAC【解答】证明：（）连接CE，则ADBC，BC=AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设ACBE=O，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析
24、解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键18（12分）（2015秋黄山期末）已知椭圆+=1内一点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点（）若AB恰被M点平分，求直线l的方程；（）若直线l的倾斜角为，求|AB|【分析】（）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出直线l的方程（）先求出直线l，与椭圆联立，得x2+2（x2）2=24，由此利用弦长公式能求出结果【解答】解：（）椭圆+=1内一点M（3，1），过M作一条直线l交椭圆于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），两式相减，得=0，=，直线l的方程为3x+2y11=0（）点M（3，1），过M作一条
25、直线l交椭圆于A，B两点，直线l的倾斜角为，直线l：y1=x3，即y=x2，由，得x2+2（x2）2=24，整理，得3x28x16=0，解得x=4，或x=，|AB|=【点评】本题考查直线方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点差法的合理运用19（12分）（2015秋黄山期末）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACB=60，AC=CC1=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点（）求证：平面ABE平面B1BCC1；（）求三棱锥EABC1的体积【分析】（I）由余弦定理计算AB，利用勾股定理的逆定理得出ABBC，由BB1平面ABC得BB1AB，
26、故AB平面B1BCC1，从而平面ABE平面B1BCC1；（II）过B作BDAC于D，则BD平面ACC1A1，于是V=V=【解答】（I）证明：AC=2，BC=1，ACB=60，AB=AB2+BC2=AC2，ABBCAA1平面ABC，AA1BB1，BB1平面ABC，AB平面ABC，BB1AB，又BC平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，BCBB1=B，AB平面B1BCC1又AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1（II）解：过B作BDAC于D，AA1平面ABC，BD平面ABC，AA1BD，又AA1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，AA1AC=A，BD平面ACC1A1SABC=，BD=S
27、=，V=V=【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题20（13分）（2015秋黄山期末）设抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，点F到直线3x+4y+1=0的距离为1（）求抛物线C的方程；（）设直线l：xmy+2=0，求直线l与抛物线C恰有一个公共点，两个公共点时实数m的取值范围【分析】（）求出抛物线的焦点，运用点到直线的距离公式，解得p=2，进而得到抛物线方程；（）联立方程组消x得关于y的方程，分m=0，m0两种情况讨论，使该方程有一解、两解即可【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F（0，），点F到直线3x+4y+1=0的距离为1，即有=1
28、，解得p=2，抛物线C的方程为x2=4y；（）由直线l与抛物线C，消去x得m2y2（4m+4）y+4=0，（1）当m=0时，4y+4=0，解得y=1，此时交点为（2，1），直线与抛物线只有一个公共点；（2）当m0时，由=（4m+4）216m2=0，得m=，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；0，m综上，m=0或时，直线l与抛物线C恰有一个公共点，m且m0，两个公共点【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程运用韦达定理，属于中档题21（14分）（2015秋黄山期末）已知函数f（x）=ax2+2，g（x）=x3+bx，其中a，b都是常数（）若曲线y=f（x）和
29、曲线y=g（x）在它们交点（1，c）处具有公切线，求a，b的值；（）当a2=4b时，求函数f（x）g（x）的单调区间【分析】（）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可【解答】解：（）f（x）=ax2+2（a0），则f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又f（1）=a+2，g（1）=1+b，a+2=1+b，由式可得：a=4，b=5；（）a2=4b时，令F（x）=f（x）g（x）=x3+ax2bx+2，a2=4bb=，则F（x）=x3+ax2x+2，F（x）=3x2+2ax，（1）a=0时，F（x）=3x20，F（x）在R递减，（2）a0时，令F（x）0，解得x，令F（x）0，解得：x或x，F（x）在（，），（，+）递减，在（，）递增，（3）a0时，令F（x）0，解得x，令F（x）0，解得：x或x，F（x）在（，），（，+）递减，在（，）递增【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题
