1、第13讲 函数的综合应用【学习目标】会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力【基础检测】1函数 f(x)lg(|x|1)的大致图象是()B【解析】函数 f(x)lg(|x|1)是定义域为(，1)(1，)的偶函数，值域为 R.又当 x1 时，函数单调递增，所以只有选项 B 正确2已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数，若当 x0，1)时，f(x)2x1，则f(log126)的值为()A52 B5 C12 D6C【解析】3log1262，1log12620，即1log1232g(1)，则 x 的取值范围是110，10【解析】
2、因为 g(x)f(|x|)，所以函数 g(x)为偶函数 因为函数 f(x)在0，)上是增函数，当 x0 时，g(x)f(|x|)f(x)，此时为减函数；当 x0，函数g(x)单调递增因为 g(lg x)g(1)，所以有1lg x1，解得 110 x1.酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升此驾驶员至少要过_小时后才能开车(精确到 1 小时)4【解析】当 0 x1 时，f(x)5x20.04，0.2；当 x1 时，由 f(x)0.02，得3513x0.02，即13x 130，x 的最小整数值为 4，故此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车1.
3、函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)的增长速度比较(1)指数函数 yax 和幂函数 yxn(n0)在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在一定范围内 ax 会小于xn，但由于yax的增长速度快于yxn的增长速度，因此总存在一个 x0，当 xx0 时，有_(2)对于对数函数 ylogax(a1)和幂函数 yxn(n0)在区间(0，)上，尽管在一定范围内可能会有 logaxxn，但由于 logax 的增长速度慢于 xn 的增长速度，因此在(0，)上总存在一个实数 x0，使 xx0 时，_(3)yax(a1)，ylogax(a1)与 yxn(n0)尽管都是增函数，但
4、由于它们增长速度不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，)上随 x 的增大，总会存在一个 x0，当 xx0 时，有_axxnxnlogaxaxxnlogax2函数的三要素(定义域、值域和对应法则)，四条常用的性质(奇偶性、单调性、对称性和周期性)及七类初等函数(一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数)的图象和性质，构成了函数的主体与集合、不等式、导数构成高中数学最大的板块，它们在数学的其它分支中有极其广泛的应用，成为历年高考命题的主干题型和热点内容考查方式既有选择题、填空题，又有解答题，有容易题，也有难题其中以函数的定义与性质的深化理解、函数图象与性质的灵活运
5、用为核心，充分体现以“能力立意”为原则一、函数方程不等式综合例1设函数 f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设 n2，b1，c1，证明：f(x)在区间12，1内存在唯一的零点；(2)设 n 为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求 b3c的最小值和最大值；(3)设 n2，若对任意 x1，x21，1，有|f(x1)f(x2)|4，求 b 的取值范围；【解析】(1)当 b1，c1，n2 时，f(x)xnx1.f12 f(1)12n12 10，f(x)在12，1 上是单调递增的，f(x)在12，1 内存在唯一零点(2)解法一：由题意知 1f（1）1，1f（1）1，即0bc2，2bc0.作出可
6、行域如图所示，由图象知，b3c 在点(0，2)取到最小值6，在点(0，0)取到最大值0，b3c 的最小值为6，最大值为 0.解法二：由题意知 1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0.2得 62(bc)(bc)b3c0，当 b0，c2 时，b3c6；当 bc0 时，b3c0，所以 b3c 的最小值为6，最大值为 0.解法三：由题意知f（1）1bc，f（1）1bc，解得 bf（1）f（1）2，cf（1）f（1）22，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，所以 b3c 的最小值为6，最大值为 0.(3)当 n2 时，f(x)x2bxc.对任意
7、x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|4 等价于 f(x)在1，1上的最大值与最小值之差 M4.据此分类讨论如下：()当|b2|1，即|b|2 时，M|f(1)f(1)|2|b|4，与题设矛盾()当1b20，即 0b2 时，Mf(1)fb2 b21 24 恒成立()当 0b21，即2b0 时，Mf(1)fb2 b21 24 恒成立 综上，2b2.注：()()也可合并证明如下：用 maxa，b表示 a，b 中的较大者 当1b21，即2b2 时，Mmaxf(1)，f(1)f(b2)f（1）f（1）2|f（1）f（1）|2fb2 1c|b|b24 c 1|b|224 恒成立二、在实际问题中建
8、立函数模型例2某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意 200rh160r21
9、2 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0，5 3)(2)因 V(r)5(300r4r3)，故 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15,r25(因 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0，5)时，V(r)0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大【点评】解答本题的关键是要仔细审题，理解题意，建立相应的
10、分段函数数学模型求解时，可利用导数求解，此外还要注意问题的实际意义三、函数模型拟合例3某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元1 000 万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：y x1502；y4lg x3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【解析】(1)设奖励函数模型为 yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当 x10，1
11、 000时，f(x)是增函数；f(x)9恒成立；f(x)x5恒成立(2)对于函数模型 f(x)x1502：当 x10，1 000时，f(x)是增函数，则 f(x)maxf(1 000)1 000150 2203 215.从而f（x）x15不恒成立，即 f(x)x5不恒成立 故该函数模型不符合公司要求 对于函数模型 f(x)4lg x3：当 x10，1 000时，f(x)是增函数，则 f(x)maxf(1 000)4lg 1 00039.所以 f(x)9 恒成立 设 g(x)4lg x3x5，则 g(x)4lg ex 15.当 x10 时，g(x)4lg ex 15 2lg e15lg e215
12、0，所以 g(x)在10，1 000上是减函数，从而g(x)g(10)10.所以 4lg x3x50，即 4lg x3x5，所以 f(x)0 且 a1)，对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数，m0，a0 且 a1)，幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n 为常数，a0，n0)，“勾”函数模型：f(x)xkx(k 为常数，k0)，这种函数模型应用十分广泛，因其图象像一个“勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型 分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛备选题例4记函数 f(x)的定义域为 D，若存在 x0D，使 f(x0)x0 成立，则称以(x
13、0，x0)为坐标的点为函数 yf(x)图象上的不动点(1)若函数 f(x)2x1xa 的图象上有且仅有两个不动点，试求 a 的取值范围；(2)已知二次函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR且 a0)，满足f（0）1，f（1sin ）1（R），且 yf(x)的图象上有两个不动点(x1，x1)，(x2，x2)，记函 数 y f(x)的 对 称 轴 为 x x0.求 证：如 果x12x21.【解析】(1)依题意，方程2x1xa x 有且仅有两个不等实根，x2（a2）x10，xa有两个不等实根，（a2）240，（a）2（a2）（a）10，a4，a12，a 的取值范围是，12 12，0(4，)(2)证
14、明：由f（0）1，f（1sin）1，得 f(0)1，即c1，f(x)ax2bx1.设 g(x)f(x)xax2(b1)x1，则 g(x)0 的两根为 x1，x2.由 a0 及 x12x24，得g（2）0，即4a2b10，作出可行域可知ba2，b2a1.【点评】(1)本题主要考查二次函数、二次方程的根的分布及不等式等有关知识，考查函数思想，化归转化思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力(2)本题的解答途径是：函数的不动点函数的零点方程的根的分布1函数模型应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2函数建模的基本
15、流程3解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解4函数的三要素中，对应法则是重点和关键，要特别重视；定义域是易错点，要特别注意；值域和最值是函数的一个整体性质，求解方法灵活、综合性强、深受命题者的青睐，要熟练5函数图象可以全面地反映函数的性质，其中画图、识图、用图是考查数学素质和数学能力的重要途径，因此，必须掌握画图的基本方法(描点法与变换法)
16、，熟悉基本初等函数的图象，并会灵活应用6函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)中，单调性是重中之重，也是高考的重点和热点7熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的性质、图象和特点，是应用函数思想解题的基础，善于挖掘隐含条件，构造出恰当的函数解析式，并能合理地运用函数图象和性质，是应用函数思想解题的关键8函数中分段函数问题、分类讨论问题、探索性问题、应用问题和综合问题是高考的热点问题，应适当加强训练(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：
17、米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l60.5，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时1 900100【解析】把所给 l 值代入，分子分母同除以 v，构造基本不等式的形式求最值 当 l6.05 时，F76 000vv218v12176 000v121v 1876 0002 v121v 1876 00022181 900.当且仅当 v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 1 900 辆/时(2)当 l5 时，F76 000vv218v10076 000v100v
18、 1876 0002 v100v 1876 00020182 000.当且仅当 v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 2 000 辆/时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/时【点评】本题考查应用问题的解法，关键是理解题意，找到模型1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间 t 的函数，其图象可能是()A2已知函数 f(x)2xx3，x0，13xlog2x，x0，若 x0是 yf(x)的零点，且 0t0 时，由 f(x)13xlog2x0，得13xlog2x，在同一坐标系中分别作出 y13x，ylog2x 的图象，由图象可知，当 0t
19、log2t，所以此时 f(t)恒大于 0.3已知 a1，设函数 f(x)axx4 的零点为m，g(x)logaxx4 的零点为 n，则 mn 的最大值为()A8 B4 C 2 D1B【解析】由 f(x)axx40 得 ax4x，函数 f(x)axx4 的零点为 m，即 yax，y4x的图象相交于点(m，4m)由 g(x)logaxx40 得 logax4x，函数 g(x)logaxx4 的零点为n，即 ylogax，y4x 的图象相交于点(n，4n)因为 yax，ylogax 互为反函数，则(m，4m)与(n，4n)关于直线 yx 对称所以 m4n，即 mn4 且 m0，n0，由于 mnmn2
20、24，当且仅当mn2 时“”成立所以 mn 的最大值为 4.4已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，bf(log123)，cf(2 2)则 a，b，c 的大小关系是()AcabBcbaCbcaDabcB【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数 f(x)在(0，)上是减函数，bf(log123)f(log23)f(log23)且1log47log2 7log2322 2，所以 cba.5如图，已知 l1l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1
21、 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 ycos x，则 y 与时间 t(0t1，单位：s)的函数 yf(t)的图像大致为()B【解析】如图所示，lxr|，cosx21t，ycos x2cos2x212(t1)21，顶点(1，1)，开口向上，0t1.6如右图，OA2(单位：m)，OB1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为6，以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 的延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点 O 出发，甲先以速率 1(单位：m/s)沿线段 OB 行至点 B，再以速率 3(单位：m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后停止，乙以速率 2
22、(单位：m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止设 t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)0)，则函数 yS(t)的图象大致是()A【解析】对 t 进行分段，确定函数 yS(t)的解析式 由题意知，当 01 时，设圆弧半径为 r 甲从 B 沿圆弧移动到 C 后停止，乙在 A 点不动，则此时 S(t)1212sin6 12r3(t1)3r2 t13r2，此段图象为直线，当甲移动至 C 点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项 B 中开始一段函数图象不对，选项 C 中后两段图象不对，选项 D 中前两段函数图象不对，故选 A.7已知函数 f(x)是定义
23、在 R 上的偶函数，满足：f(x1)f(x)，且 f(x)在0，1上是减函数(1)试讨论函数 f(x)在1，2上的单调性，并给出证明；(2)如果 f(0.6)0，请指出方程 f(x)0 的所有实数根【解析】因为 f(x2)f(x1)f(x)，所以 f(x)是周期为 2 的周期函数(1)函数 f(x)在1，2上是增函数 设 1x1x22，则1x12x220，从而 02x2f(2x1)，即 f(x2)f(x1)，也就是 f(x2)f(x1)由单调函数的定义知，函数 f(x)在1，2上是增函数(2)因为 f(x)在0，1上是减函数，且 f(0.6)0，所以方程 f(x)0 在0，1内有唯一实根 0.
24、6；由奇偶性知，方程 f(x)0 在1，0内也有唯一实根0.6，这样在函数 f(x)的一个周期1，1内，方程 f(x)0 的实根为0.6.考虑到周期性，方程 f(x)0 的所有实根为0.62k，kZ.8某地开发了一个旅游景点，第 1 年的旅客约为 100 万人，第 2 年的游客约为 120 万人某数学兴趣小组综合各种因素预测：该景点每年的游客人数会逐年增加；该景点每年的游客都达不到130 万人，该兴趣小组想找一个函数 yf(x)来拟合该景点对外开放的第 x(x1)年与当年的游客人数y(单位：万人)之间的关系(1)根据上述两点预测，请用数学语言描述函数yf(x)所具有的性质；(2)若 f(x)m
25、xn，试确定 m，n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；(3)若 f(x)abxc(b0，b1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定 b 的取值范围【解析】(1)预测：f(x)在1，)上单调递增；预测：f(x)0，故 f(x)在1，)上单调递增，符合预测.又当 x4 时，f(x)40 x 140130，所以此时 f(x)不符合预测.(3)由100abc，120ab2c，解得a20b（b1），c100 20b1.因为 f(x)abxln b，要想符合预测，则f(x)0，即 aln b0，从而a0，b1或a0，0b1 时，a20b（b1）0，此时符合预测，但由 f(x)130.解得 xlogb32b2b2，即当 xlogb32b2b2 时，f(x)130，所以此时 f(x)不符合预测.当 0b1，a20b（b1）0，此时符合预测，又由 x1，知 bx(0，b，所以 abxab，0)，从而 f(x)abc，c)欲 f(x)也符合预测，则 c130，即 100 20b1130.又 0b1，解得 0b13.综上所述，b 的取值范围是0，13.
