1、2020-2021 学年三门峡高三第一次大练习数学（文科）-参考答案一、选择题(60 分)1-6:C A D C B D7-12:A B D C D B二、填空题(20 分)13.12；14.4；15.4；16.3yx 三、解答题：共 70 分.17.（12 分）【解析】（1）2222coscosbcaacCcA，22coscoscosbcAacCcA0c，2 coscoscosbAaCcA，由正弦定理得 2sincossincossincosBAACCA，即2sincossin()BAACsin()sin()sinACBB，2sincossinBAB，即sin(2cos1)0BA，0B，si
2、n0B，1cos2A，0A，3A（2）1325 3sin244ABCSbcAbc，25bc 22222251cos22 252bcabcAbc，2250bc，2()502 25100bc，即10bc（或求出5bc），3sinsinsin2sinsin()1035AAABCbcbcaaa 18.（12 分）【解析】(1)依题意,可得 S(x)=(2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事件 A,由 500S900,得 1503.841,所以有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.19.（12 分）【解析】（1）证明：由题设得114()
3、4()8nnnnabab，即112nnnnabab，因此12(2)nnccn，又1113cab，所以数列 nc是首项为 3，公差为 2 的等差数列.又 由 题 设 得114()2()nnnnabab，即112()nnnnabab，因 此11(2)2nnddn，又1111dab，所以数列nd是首项为 1，公比为 12的等比数列.(2)由（1）知1121,().2nnncnd即1211()2nnnnnabnab，解得1111(),().2222nnnnanbn（3）2211()()(21)().2nnnnnnnnnabababc dn0221111113()57()(21)()(21)()2222
4、2nnnSnn 23111111135()7()(21)()(21)()222222nnnSnn 2311211111132()()()(21)()222222111()12232(21)()1212115()(21)()22nnnnnnnSnnn两式相减得，所以1110(25)()2nnSn.20.（12 分）【解析】（1）由题意可知：直线2AF 的方程为1xycb，即0bxcybc，则2222bcbcabc，因为12AFF为等腰直角三角形，所以bc，又222abc，可解得2a，1b，1c，所以椭圆C 的标准方程为2212xy（2）证明：由（1）知(0,1)A，当直线l 的斜率存在时，设直线
5、l 的方程为(1)ykxt t，代入2212xy，得222(1 2)4220kxktxt所以2 222164(1 2)(22)0k tkt，即2221tk，设11(,)M x y，22(,)N x y，则122412ktxxk ，21 222212tx xk，因为直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为2，所以121212121111AMANyykxtkxtkkxxxx 12212(1)(1)422222txxtktkkx xt，整理得1tk，所以直线l 的方程为1(1)1ykxtkxkk x ，显然直线(1)1yk x 经过定点(1,1)，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为 xm，因
6、为直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为2，设(,)M m n，则(,)N mn，所以1122AMANnnkkmmm，解得1m，此时直线l 的方程为1x，显然直线1x 也经过该定点(1,1)，综上，直线l 恒过点(1,1)21.（12 分）【解析】（1）当1m 时，21xfxexx，2e3xfxxx.令 0f x，得0 x 或3x .函数 yf x的单调递增区间为,3，0,.（2）221xfxexmxm，01fm，01 2fm.函数 yf x的图象在点 0,0f处的切线方程为 1 210ymmx.即1210mxym.方程1210mxym 可化为 210m xxy，当2010 xxy 即21xy
7、时，对任意m R，1210mxym 恒成立，函数 yf x的图象在 0,0f点处的切线方程1210mxym 经过定点2,1.（3）221xf xe xmxm.令211 2yxmxm，2221yxmxm，2214 1 284mmmm，22224 18mmmm.当20 即 80m 时，2210yxmxm，2210 xfxexmxm，yf x在,上单调递增，yf x在,上不存在最大值和最小值.当20 即8m 或0m 时，设方程2210 xmxm的两根为12,x x.fxf x，随x的变化情况如下表：x1x(，)1x12xx（，）2x2(,)x()fx00()f x递增极大值递减极小值递增当 x 时，
8、0f x，0f x；当 x时，f x.要使 yf x在,上有最大值或最小值，只需满足 20f x即1 0y 有解.2214 1 2840mmmm ，解得4 2 5m 或4 2 5m .综上可得，42 5m 或4 2 5m.22.（10 分）选修 44：极坐标与参数方程【解析】(1)由2cos,sinxy 得椭圆 C 的普通方程为x24y21.因为 A 的极坐标为(2,)3，所以 x2cos31，y2sin3 3，A 在直角坐标系下的坐标为(1，3).(2)将x12 22 t，y12 22 t，代入x24y21，化简得 10t26 2t110，设此方程两根为 t1，t2，则t1t23 25，t1
9、t21110.所以|PQ|（t1t2）24t1t28 25.因为直线 l 的一般方程为 xy10，所以点 A 到直线 l 的距离 d 32 62.所以APQ 的面积为：128 25 62 4 35.23.（10 分）选修 45：不等式选讲【解析】(1)当0a 时，()1f x 化为|21|1xx.当0 x 时，不等式化为0 x，无解；当102x时，不等式化为0 x，解得102x；当12x 时，不等式化为2x，解得 122x；综上，()1f x 的解集为|02xx.(2)由题设可得1,1()31,211,.2xaxaf xxaaxxax 所以()f x 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为1(,0)3a，(1,0)a，11(,)22a，该三角形的面积为2(1 2)6a.由题设2(1 2)362a，解得1a 或2a，又0a，所以1a .所以 a 的取值范围是(,1).
