1、第 29 课时 机械能守恒定律及其应用(重点突破课)基础点自主落实 必备知识1重力做功的特点重力做功与无关，只与始、末位置的有关。2重力势能的特点重力势能是物体和组成的系统所共有的；重力势能的大小与参考平面的选取，但重力势能的变化与参考平面的选取。路径高度差地球有关无关3重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能；重力对物体做负功，重力势能。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能变化量的，即 WG。4弹性势能(1)概念：物体由于发生而具有的能量。(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量，劲度系数，弹簧的弹性势能越大。减小增大负值
2、Ep弹性形变越大越大(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力对物体做的功等于弹簧弹性势能变化量的负值，即 WEp，类似于重力做功与重力势能变化的关系。5机械能守恒定律(1)内容：在只有或做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能。(2)守恒条件：只有做功。(3)常用的三种表达式守恒式：E1E2 或Ek2Ep2；转化式：Ek；转移式：EA。重力弹力保持不变重力或系统内弹力Ek1Ep1EpEB小题热身1判断正误(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。()(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。()(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。()(4)物体的速度增大时，其机械能
3、可能在减小。()(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。()(6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化。()2关于重力势能，下列说法中正确的是()A物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C一个物体的重力势能从5 J 变化到3 J，重力势能减少了D重力势能的减少量等于重力对物体做的功解析：物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面时，重力势能不同，A 选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B 选项错；重力势能中的正、负号表示大小
4、，5 J 的重力势能小于3 J 的重力势能，C 选项错；重力做的功度量了重力势能的变化，D 选项正确。答案：D3将质量为 100 kg 的物体从地面提升到 10 m 高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取 g10 m/s2)()A重力做正功，重力势能增加 1.0104 JB重力做正功，重力势能减少 1.0104 JC重力做负功，重力势能增加 1.0104 JD重力做负功，重力势能减少 1.0104 J解析：重力做负功，WGmgh1.0104 J，EpWG1.0104 J，C 项正确。答案：C4.(多选)如图所示，A、B 两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于 O 点，B 球用轻弹簧系于 O
5、点，O 与 O点在同一水平面上，分别将 A、B 球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则()A两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等B两球到达各自悬点的正下方时，A 球动能较大C两球到达各自悬点的正下方时，B 球动能较大D两球到达各自悬点的正下方时，A 球受到向上的拉力较大解析：整个过程中两球减少的重力势能相等，A 球减少的重力势能完全转化为 A 球的动能，B 球减少的重力势能转化为B 球的动能和弹簧的弹性势能，所以 A 球的动能大于 B 球的动能，所以 B 正确；在悬点正下方位置，根据牛
6、顿第二定律知 Fmgmv2R，因为 vAvB，所以 A 球受到的拉力较大，所以 D 正确。答案：BD提能点(一)机械能守恒的理解与判断提能点师生互动1.对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用做功即守恒条件判断。(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。(3)利
7、用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。典例 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，物体 A 机械能守恒B乙图中，物体 A 固定，物体 B 沿斜面匀速下滑，物体 B 的机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A、B 组成的系统机械能守恒D丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析 甲图中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，A 错；乙图中物体 B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作
8、用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体 B 的机械能不守恒，B 错；丙图中绳子张力对 A 做负功，对 B 做正功，代数和为零，A、B 组成的系统机械能守恒，C 对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对。答案 CD(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。集训冲关1在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上 30角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固
9、定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴 O 无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上 30角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A甲图中小球机械能守恒 B乙图中小球 A 机械能守恒C丙图中小球机械能守恒 D丁图中小球机械能守恒解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对 A 的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球 A 的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B 错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失
10、，机械能不守恒，C 错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D 错误。答案：A2.把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A 位置，如图甲所示。迅速松手后，球升高至最高位置 C(图丙)，途中经过位置 B 时弹簧正处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从 A 运动到 C 的过程中，下列说法正确的是()A经过位置 B 时小球的加速度为 0B经过位置 B 时小球的速度最大C小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小解析：分析小球从 A 到 B 的过程中受力情况，开始
11、时弹力大于重力，中间某一位置弹力和重力相等，接着弹力小于重力，在 B 点时，弹力为零，小球从 B 到 C 的过程中，只受重力。根据牛顿第二定律可以知道小球从 A 到 B 过程中，先向上加速再向上减速，所以速度最大位置应该是加速度为零的位置，在 A、B 之间某一位置，A、B 错；从 A 到 C 过程中对于小球、地球、弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，C 对，D 错。答案：C3.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的 A 点，橡皮绳竖直时处于原长 h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑过程中(
12、)A圆环机械能守恒B橡皮绳的弹性势能一直增大C橡皮绳的弹性势能增加了 mghD橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大解析：圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故 A 错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由题图知橡皮绳先缩短后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故 B 错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了 mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为 mgh，故 C 正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中圆环的
13、动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故 D 错误。答案：C提能点(二)单个物体的机械能守恒应用机械能守恒定律的一般步骤典例 如图所示，竖直平面内的一半径 R0.50 m 的光滑圆弧槽 BCD，B 点与圆心 O 等高，一水平面与圆弧槽相接于 D点，质量 m0.10 kg 的小球从 B 点正上方 H0.95 m 高处的 A点自由下落，由 B 点进入圆弧轨道，从 D 点飞出后落在水平面上的 Q 点，DQ 间的距离 x2.4 m，球从 D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度 h0.80 m，g 取 10 m/s2，不计空气阻力，求：(1)小球经过 C 点时轨道对
14、它的支持力大小 FN；(2)小球经过最高点 P 的速度大小 vP；(3)D 点与圆心 O 的高度差 hOD。解析(1)设小球经过 C 点时速度为 v1，取 C 点为零势能面，由机械能守恒有 mg(HR)12mv12由牛顿第二定律有 FNmgmv12R代入数据解得 FN6.8 N。(2)小球从 P 到 Q 做平抛运动，有 h12gt2，x2vPt代入数据解得 vP3.0 m/s。(3)取 DQ 为零势能面，由机械能守恒定律，有12mvP2mghmg(HhOD)，代入数据，解得 hOD0.30 m。答案(1)6.8 N(2)3.0 m/s(3)0.30 m机械能守恒定律的应用技巧(1)机械能守恒定
15、律是一种“能能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。集训冲关1(多选)如图所示，在地面上以速度 v0 抛出质量为 m 的物体，抛出后物体落在比地面低 h 的海平面上，若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则()A物体在海平面的重力势能为 mghB重力对物体做的功为 mghC物体在海平面上的机械能为12mv02mghD物体在海平面上的动能为12mv02mgh解析：以地面为零势能面，海平面在地面以下 h 处，所以物
16、体在海平面的重力势能是mgh，A 错；重力做功和路径无关，和初、末位置高度差有关，从地面到海平面，位移竖直向下为 h，重力也向下，重力对物体做功 mgh，B 对；从地面到海平面过程只有重力做功，机械能守恒，在海平面处的机械能等于在地面的机械能，在地面重力势能为零，动能为12mv02，机械能为 E012mv0212mv02，C 错；在海平面处的机械能同样为12mv02，而在海平面重力势能为mgh，所以12mv02Ek(mgh)，得动能 Ek12mv02mgh，D 对。答案：BD2.如图所示，质量为 m 的小球从四分之一光滑圆弧轨道顶端由静止释放，从轨道末端 O 点水平抛出，击中平台右下侧挡板上的
17、 P 点。以 O 为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程 y6x2(单位：m)，小球质量 m0.4 kg，圆弧轨道半径 R1.25 m，g 取 10 m/s2，求：(1)小球对圆弧轨道末端的压力大小；(2)小球从 O 点到 P 点所需的时间(结果可保留根号)。解析：(1)对小球，从释放到 O 点过程中,由机械能守恒得 mgR12mv2代入数据解得 v5 m/s小球在圆轨道最低点有 FNmgmv2R，解得 FN12 N根据牛顿第三定律，小球对轨道末端的压力大小 FNFN12 N。(2)小球从 O 点水平抛出后满足 y12gt2，xvt又有 y6x2，联立解得 t 55 s
18、。答案：(1)12 N(2)55 s提能点(三)多个物体的机械能守恒考法 1 杆连物体系统机械能守恒问题简述如图所示的两物体组成的系统，当释放后 A、B 在竖直平面内绕过 O 点的轴转动，且 A、B 的角速度相等。方法突破求解这类问题时，由于二者角速度相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据 EkEp列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等。例 1(多选)(2015全国卷)如图，滑
19、块 a、b的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上。a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g。则()Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg解析 由题意知，系统机械能守恒。设某时刻 a、b 的速度分别为 va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为，分别将 va、vb 分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度 v与v是相等的，即 vacos vb sin。当 a
20、滑至地面时 90，此时vb0，由系统机械能守恒得 mgh12mva2，解得 va 2gh，选项 B 正确。同时由于 b 初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对 b 先做正功后做负功，选项 A 错误。杆对 b 的作用先是推力后是拉力，对 a 则先是阻力后是动力，即 a 的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于 g，选项 C 错误。b 的动能最大时，杆对 a、b 的作用力为零，此时 a 的机械能最小，b 只受重力和支持力，所以 b 对地面的压力大小为 mg，选项 D 正确。答案 BD考法 2 绳连物体系统机械能守恒问题简述如图所示的两物体组成的系统，当释放 B 而使 A、B 运动的过
21、程中，A、B 的速度均沿绳子方向，在相等时间内 A、B 运动的路程相等，A、B 的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。方法突破求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp 的形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功。例 2(2017济南质检)如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度 h0.2 m，开始时让连着
22、 A 的细线与水平杆的夹角 137，由静止释放 B，当细线与水平杆的夹角 253时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设 B 不会碰到水平杆，sin 370.6，sin 530.8，取 g10 m/s2)解析 A、B 两物体组成的系统，只有动能和重力势能的转化，机械能守恒。设 253时，A、B 两物体的速度分别为 vA、vB，B 下降的高度为 h1，则有 mgh112mvA212mvB2其中 h1hsin 1hsin 2，vAcos 2vB代入数据解得 vA1.1 m/s。由于绳子的拉力对 A 做正功，使 A 加速，至左滑轮正下方时速度最大，此时 B 的速度为
23、零，此过程 B 下降高度设为 h2，则由机械能守恒定律得 mgh212mvAm2，其中 h2hsin 1h代入数据解得 vAm1.6 m/s。答案 1.1 m/s 1.6 m/s考法 3 弹簧连接的系统机械能守恒问题简述由弹簧相连的物体系统，在运动过程中既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移，而总的机械能守恒。方法突破求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循 Fkx 和 Fkx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、
24、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。例 3 如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。现用手控制住 A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知 A 的质量为 4m，B、C 的质量均为 m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦
25、不计。开始时整个系统处于静止状态；释放 A后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。求：(1)斜面的倾角。(2)球 A 获得的最大速度 vm。解析(1)由题意可知，当 A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。物体 A 的加速度此时为零由牛顿第二定律：4mgsin 2mg0则：sin 12，即 30。(2)由题意可知，A、B 两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和 A 沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等，故有：2mgkx4mgxsin mgx12(5m)vm2 得：vm2gm5k。答案(1)30(2)2gm5k通法归纳(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运
26、动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆或弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp 或 EAEB的形式。集训冲关1.(2015天津高考)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 3mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：圆环沿杆
27、下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项 A、D 错误；弹簧长度为 2L 时，圆环下落的高度 h 3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了 Epmgh 3mgL，选项 B 正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项 C 错误。答案：B2.(2017青岛检测)一半径为 R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的 A、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为 B 球质量的 2 倍，现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示。已知 A 球始终不离开圆柱内表面，且细
28、绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A 球沿圆柱内表面运动的最大位移。解析：(1)设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为 v，B 球的质量为 m，则根据机械能守恒定律有2mgR 2mgR122mv212mvB2由图甲可知，A 球的速度 v 与 B 球速度 vB 的关系为vBv1vcos 45联立解得 v2 2 25gR。(2)当 A 球的速度为零时，A 球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为 x，如图乙所示，由几何关系可知 A 球下降的高度h x2R4R2x2根据机械能守恒定律，有 2mghmgx0解得 x 3R。答案：(1)2 2 25gR
29、(2)3R3.(2017济南模拟)半径为 R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为 m 和 3m 的小球 A 和 B。A、B 之间用一长为 2R 的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B 都静止，且 A 在圆环的最高点，现将 A、B 释放，试求：(1)B 球到达最低点时的速度大小；(2)B 球到达最低点的过程中，杆对 A 球做的功；(3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。解析：(1)释放后 B 到达最低点的过程中 A、B 和杆组成的系统机械能守恒，mAgRmBgR12mAvA212mBvB2，又 OAOB，AB 杆长 2R，故 OA、OB 与杆间夹角均为 45，可得 vAvB，解得：
30、vB2gR。(2)对小球 A 应用动能定理可得：W 杆 AmAgR12mAvA2，又 vAvB解得杆对 A 球做功 W 杆 A0。(3)设 B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为，取圆环的圆心 O 为零势面，由系统机械能守恒可得：mAgRmBgRcos mAgRsin，代入数据可得 30，所以 B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心 O 的高度hBRcos 32 R。答案：(1)2gR(2)0(3)高于 O 点 32 R 处提能点(四)用机械能守恒定律解决非质点问题在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相
31、对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。典例 如图所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为 的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为 L 的均匀柔软链条开始时静止的放在 ABC 面上，其一端 D 至 B 的距离为 La。现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；(2)链条的 D 端滑到 B 点时，链条的速率为多大？解析(1)链
32、条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面 BC 和 AB面均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。(2)设链条质量为 m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由 La段下降引起的，高度减少量 haLa2sin La2sin 该部分的质量为 mmL(La)由机械能守恒定律可得：mL(La)gh12mv2，可解得：vgLL2a2sin。答案(1)见解析(2)gLL2a2sin(1)寻找等效长度，如本例中的“La”，可以快速准确的解决非质点问题。(2)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。(3)机械能守恒定律解决非质点问题，犹如整体隔离法解决动力学问题。集训
33、冲关1.如图所示，粗细均匀，两端开口的 U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为 h，管中液柱总长度为 4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为()A.18gh B.16gh C.14ghD.12gh解析：当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有18mg12h12mv2，解得：v18gh。答案：A2如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 L(L2R)，R 远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道(车厢间的距离不计)。解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆环时的速度最小，设此时的速度为 v，列车的质量为 M，轨道上那部分列车的质量 MML2R由机械能守恒定律可得：12Mv0212Mv2MgR又因圆环顶部车厢应满足：mgmv2R，可求得：v0gR14RL。答案：gR14RL
