1、13.2“杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P3236，思考并完成以下问题1杨辉三角具有哪些特点？ 2二项式系数的性质有哪些？ 1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即CC)(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn相等，同时取得最大值(3)各二项式系数的和：CCCC2n
2、，CCCCCC2n1.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项式展开式的二项式系数和为CCC.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案：(1)(2)(3)2已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于()A5B6C7 D8答案：A3(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是()A第1项 B第n项C第n1项 D第n项与第n1项答案：C4在(ab)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n()A6 B7C8 D9答案：A与杨辉三角有关的问题典例(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中
3、的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A第6行B第7行C第8行 D第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A144 B146C164 D461解析(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除(2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第15项是C，第16项是C.所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(
4、CCC)CC1164.答案(1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论活学活用如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C，第n行中的数是C，C，C，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，则CC23，解之得n34.答案：34求展开式的系数和典例设(12x)2 016a0a1xa2x2a2 0
5、16x2 016(xR)(1)求a0a1a2a2 016的值(2)求a1a3a5a2 015的值(3)求|a0|a1|a2|a2 016|的值解(1)令x1，得a0a1a2a2 016(1)2 0161.(2)令x1，得a0a1a2a2 01632 016.得2(a1a3a2 015)132 016，a1a3a5a2 015.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 016|a0a1a2a3a2 01632 016.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n, (ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子
6、求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.活学活用已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7，a0a2a4a6.解：(1)(12x)7a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a71，令x0，得a01，a1a2a72.(2)令x1，得a0a1a2a3a6a7372 187，由，得a1a3a5a7
7、1 094，a0a2a4a61 093.求展开式中系数或二项式系数的最大项典例在8的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5C24x41 120x6.(2)设第r1项系数的绝对值最大，则即整理得于是r5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项一题多变1变设问在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正故系数最大的项为T7C26x111 792x11.系数最小的项为T6(1
8、)5C25x1 792x.2变条件，变设问在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项解：由题意知n8，通项为Tk1(1)kC8kx8k，令8k0，得k6，故常数项为第7项，且T7(1)62C7.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 层级一学业水平达标1关于(ab)10的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和为1 024B展开式中第6项的二项式系数最大C展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小解析：选C根据
9、二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的2已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A11B10C9 D8解析：选D只有第5项的二项式系数最大，15.n8.3设(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，当a0a1a2an254时，n等于()A5 B6C7 D8解析：选C令x1，则a0a1an222232n，254，n7.4若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)
10、3，则a2的值为()A3B6 C9D12解析：选Bx32(x2)3，a2C26.5已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：选BC2C22C2nC(12)n729.n6，CCC32.6设二项式n(nN*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则_.解析：由题意知an2n成等比数列，令x1则bnn也成等比数列，所以2n1.答案：2n17(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_解析：设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.答案：
11、8(1)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是_解析：因为8CCC32，即82n32.所以n4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3C()26x.答案：6x9若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a1a2a10；(2)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2.解：(1)令f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0，故a1a2a1032.(2)(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a10)f(1)f(1)0.10已知
12、n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数解：CC2C，整理得n221n980，n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C423；T5的系数为C32470；当n14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C7273 432.层级二应试能力达标11(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为()A2n1B2n1C2n11 D2n解析：选C法一：令x1得，12222n2n11.法二：令n1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项2在(1x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为
13、B，则(1x2)n的值为()A0 BABCA2B2 DA2B2解析：选C(1x)nAB，(1x)nAB，所以(1x2)nA2B2.3若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016(xR)，则的值为()A2 B0C1 D2解析：选C(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016，令x，则2 016a00，其中a01，所以1.4若(xy)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且xy1，xy1，即x的取值范围是(1，)5若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_解析：n展开式的二项式系数之和为2n，2n64，n6.Tr1Cx6rrCx62r.由62r0得r3，
14、其常数项为T31C20.答案：206若n的展开式中含有x的项为第6项，若(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_解析：二项式n展开式的通项为Tr1C(x2)nrrC(1)rx2n3r.因为含x的项为第6项，所以r5,2n3r1，解得n8.令x1，得a0a1a8(13)828，令x0，得a01，a1a2a8281255.答案：2557已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(ab)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n1，而(ab)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n1，所以有2n122n
15、1120，解得n4，故第一个展开式中第3项为T3C()226.8在二项式(axmbxn)12(a0，b0，m，n0)中有2mn0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项(1)求系数最大的项是第几项？(2)求的范围解：(1)设Tr1C(axm)12r(bxn)rCa12rbrxm(12r)nr为常数项，则有m(12r)nr0，即m(12r)2mr0，r4，它是第5项(2)第5项是系数最大的项，由得a8b4a9b3，a0，b0，ba，即.由得，.故的取值范围为. (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有不
16、同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7B64C12 D81解析：选C根据分步乘法计数原理，共有4312种2(1x)10展开式中x3项的系数为()A720 B720C120 D120解析：选D由Tr1C(x)r(1)rCxr，因为r3，所以系数为(1)3C120.3.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A8种 B10种C12种 D32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C10种4
17、从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216C180 D162解析：选C由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有CCCA108，(2)不选“0”，共有CA72，由分类加法计数原理得72108180，故选C5张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有()A12 B24C36 D48解析：选B第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法有2
18、2A24种6我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A18个 B15个C12个 D9个解析：选B依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：363315个7已知直线axby10(a，b不全为0)与圆x2y250有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A66条 B
19、72条C74条 D78条解析：选B先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3412个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线axby10不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有6612672(条)8将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为()AA BAACAA DAA解析：选C8展开式的通项公式Tr1C()8rrx，r0,1,2，8.当为整数时，r0,4,8. 展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有
20、理项插入形成的7个空档中，有A种方法共有AA种排法二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)9男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有_人解析：设女生有x人，则CC30，即x30，解得x2或3.答案：2或310若(1)4ab(a，b为有理数)，则a_，b_.解析：(1)4C()0C()1C()2C()3C()41412841712，由已知，得1712ab，a17，b12.答案：171211已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若a0a1a2an16，则n_，a3_.解析：令x1，得2n16，则n4.a3C4.答案：
21、4412若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于_，此时常数项为_解析：二项式的通项为Tr1C(2x3)nrrC2nrx3n，令3nr0，即rn，而rN*.n为7的整数倍，即最小的正数n等于7，此时常数项为T7C214.答案：71413已知8展开式中常数项为1 120，则实数a_，展开式中各项系数的和是_解析：Tr1(a)rCx82r，令82r0r4.T5C(a)41 120，a2.当a2时，各项系数的和为(12)81；当a2时，各项系数的和为(12)838.答案：21或3814用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)解析：因为四位数的每个数
22、位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24214个答案：1415将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：先分组，再把三组分配乘以A得：A90种答案：90三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知(12)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项解：二项式的通项为Tk1C(2k)x由题意知展开式中第k1项系数是第k项系数的2倍，是第k2项系数
23、的，解得n7.展开式中二项式系数最大两项是：T4C(2)3280x与T5C(2)4560x2.17(本小题满分15分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A1 680(或CA)(种)(2)分步完成先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上
24、，有A种方法，共有AA50 400(或CA)(种)18(本小题满分15分)已知n的展开式中，前三项系数成等差数列(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数解：(1)前三项系数1，C，C成等差数列2C1C，即n29n80.n8或n1(舍)(2)由n8知其通项公式Tr1C()8rrrCx4r，r0,1，8.第三项的二项式系数为C28.第三项的系数为2C7.(3)令4r1，得r4，含x项的系数为4C.19.(本小题满分15分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂
25、色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同),4有4种涂法故N1=5414=80.第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法故N2=5433=180种综上可知不同的涂法共有NN1N280180260种20(本小题满分15分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端解：(1)两名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法故有不同站法有AA1 440种(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种故共有不同站法AA144种(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同故共有不同站法2420种(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：老师站两端之一，另一端由男生站，有AAA种站法，两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有AAA种站法故共有不同站法共有AAAAAA2 112种
