1、2016新课标名师导学新高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(四)(函数的应用)时间：60分钟 总分：100分【解析】f(x)为 R 上的奇函数，f(x)f(x)，令 x1，则 f(1)f(1)f(2)，f(1)f(1)1，f(1)12.令 x1，则 f(3)f(1)f(2)12132，选 C.一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 f(x)(xR)为奇函数，f(2)1，f(x2)f(x)f(2)，则 f(3)等于()A.12B1 C.32D2C【解析】f13 131313120，f12 131212120，f13 f1
2、2 0，故零点所在区间为13，12.2函数 f(x)13x x的零点所在的区间为()A.0，13B.13，12C.12，1D(1，2)B【解析】设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)25x(3 00020 x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150，选 C.3某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y3 00020 x0.1x2(0 x240，xN*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100 台B120 台C150 台D180 台C【解析】由题意可知，函数 f(x)在，3，(3，0)，(0，3)，(3，)，
3、且 f(1)f(4)f(1)f(4)0，x3f(x)0f（x）0或x30，即x0f（x）0或x0，0 x4 或4x1.4已知偶函数 yf(x)(xR)在区间0，3上单调递增，在区间3，)上单调递减，且满足 f(4)f(1)0，则不等式 x3f(x)0)在区间8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1x2x30)，在区间8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4()A12 B8 C4 D4B6对于函数 fx 与 gx 和区间 D，如果存在 x0D，使|f(x0)g(x0)|1，则称 x0 是函数 fx 与 gx 在区间 D上的“友好点”现给出下列四组函
4、数：f(x)x2，g(x)2x2；f(x)x，g(x)x2；f(x)ex，g(x)1x；f(x)ln x，g(x)x.则在区间 0，上存在唯一“友好点”的是()ABCDD【解析】对于，由|f(x)g(x)|x2(2x2)|(x1)21|1，得 x1，即为唯一的“友好点”；对于，|f(x)g(x)|x(x2)|x122741 无解，故不存在“友好点”；对于，|f(x)g(x)|ex1x，而 ex1x是(0，)上的减函数，且|f(2)g(2)|e212 1，故 f(x)与 g(x)在区间(0，)上有无穷多个“友好点”；对于，|f(x)g(x)|ln xx|，x1 时，|f(1)g(1)|1.令 h
5、(x)ln xx，h(x)1x1，当 0 x0；当 x1 时，h(x)0.h(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，h(x)在 x1 处取最大值，且 h(1)1，从而在(0，)上，h(x)0 恒成立，|h(x)|在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，|h(x)|在 x1 处取最小值，且|h(1)|1，即 f(x)与 g(x)有唯一的“友好点”综上所述选 D.【解析】f(2)g(2)f(2)10，f(10)f(10)1 010.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，将各小题的结果填在题中横线上)7若函数 f(x)x3x（x0）g（x）（x0）为奇函数，则
6、fg(2)_1 01034，38定义：如果函数 yfx 在定义域内给定区间a，b 上存在 x0ax0b，满足 fx0 fb faba，则称函数yfx 是a，b 上的“平均值函数”，x0 是它的一个均值点例如 yx4 是1，1 上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 fx x3mx 是1，1 上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是_【解析】由题意知，存在 x01，1 使得 fx0 f1 f111 13m1 1 3m12 m1，即x30mx0m1，mx01(x01)(x20 x01)mx20 x0134，3，故实数 m 的取值范围是34，3.9已知 D 是函数 yf(x)，xa，b图象上的任
7、意一点，A，B 是该图象的两个端点，点 C 满足AC AB，DC i0(其中 01，i 是 x 轴上的单位向量)，若|DC|T(T 为常数)在区间a，b上恒成立，则称 yf(x)在区间a，b上具有“T 性质”现有函数：y2x1；y2x1；yx2；yx1x.则 在 区 间 1，2 上 具 有“14 性 质”的 函 数 为_(填写序号)【解析】y2x1；显然|DC|014；y2x1；直线 AB 的方程为：y323x121yx4，设 D 点的横坐标为 t(1t2)，则|DC|t42t1 3t2t 32 2，32 214，所以具有14性质；yx2，直线 AB 的方程为：y414x212y3x2，设 D
8、 点的横坐标为 t(1t2)，则|DC|3t2t2|3t2t2t3221414；yx1x，直线 AB 的方程为：y32x32，设 D点的横坐标为 t(1t2)，则|DC|32t32t1t 3212t1t 32212t1t32 214.【解析】对任意 xR，都有 f(x3)1f（x），f(x6)f(x33)1f（x3）11f（x）f(x)，f(x)是以 6 为周期的周期函数，当3x1 时，f(x)(x2)2，当1x3 时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0.10已知函数 f(x)对任意的实数 x 满足：f(x3)1f
9、（x），且当3x1 时，f(x)(x2)2，当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 015)_.336f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)12 0106335.而 f(2 011)f(2 012)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)121011，f(1)f(2)f(2 015)3351336.【解析】(1)f(x)是 R 上的减函数，理由如下：f(a)f(a)0，aR，f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0.f(x)是 R 上的
10、单调函数，且3f(0)，f(x)为 R 上的减函数 三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11(16 分)已知 f(x)是 R 上的单调函数，且对任意的 aR，有 f(a)f(a)0 恒成立，若 f(3)2.(1)试判断 f(x)在 R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于 x 的不等式 fmxxf(m)0.(2)由 fmxxf(m)0，得 fmxxm，即（1m）xmx1 时，x|x0；2.当 m1 时，x|x0；3.当 0m1 时，x|0 x m1m.12(16 分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，旅游人数 f(t)(万
11、人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)41t，人均消费 g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足 g(t)115|t15|.(1)求该城市的旅游日收益 w(t)(万 元)与时间t(1t30，tN)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)【解析】(1)由题意得，w(t)f(t)g(t)41t(115|t15|)(1t30，tN)(2)因为w(t)41t（t100），（tt15，tN）41t（130t）.（15t30，tN）当 1t15 时，w(t)41t(t100)4t25t 40142 25401441.当且仅当 t25t，即 t5 时取等号；当 15t30 时，w(t)41t(130t)519130t 4t，可证 w(t)在 t15，30上单调递减，所以当t30 时，w(t)取最小值为 40313 由于 403130 时，f(x)2ax22x3a 的对称轴为 x 12a.当 12a1，即 0a12时，应使f（1）0，f（1）0，即a5，a1，a 的解集为.当1 12a12时，应使f 12a 0，f（1）0，即 12a3a0，a1，解得 a1，a 的解集为1，)(3)当 a0 时，当 01，即12a0 时，应使f（1）0，f（1）0，即a5，a1，a 的解集为.综上所述，a 的取值范围是，3 721，)
