1、宜兴中学高三年级数学模拟（六）数学参考公式：样本数据，的方差，其中柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高锥体的体积，其中是椎体的底面积，是椎体的高一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上1已知，则_2已知，则_3已知，为实数，为虚数单位，且，则_4已知数列满足：，则_5已知为偶函数，且当时，若，则_6已知随机变量，当方差取到最大值时，在的展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为_7已知点为圆：上的动点，过原点的直线与曲线：交于，两点，则的最大值为_8已知轴为曲线的切线，则的值为_9在直线上任取一点，过点向圆做两条切线，其切点分别为，则直线经过一个定点，该定点坐标为_10已知正三角形的边
2、长为，分别为，的中点，将沿线段折起，求使四棱锥体积最大时，四棱锥的外接球的体积为_11已知，则的最小值_12_13已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为_14已知点，在内，且，则_二解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在中，（）求；（）若为的中点，求的长度16如图所示，正四棱锥中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点（）求证：平面；（）若为上的一点，且，则为何值时，平面?并求此时三棱锥的体积17如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区已知，米，Q到直线OM，ON的距离分别为30
3、0米，米现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区（）求有轨观光直路AB的长；（）已知在景点Q的正北方600米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径（在变化），且t分钟时，米当喷泉表演开始时，一观光车（大小忽略不计）正从休息区B沿（）中的轨道以米/分钟的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由18已知圆：，抛物线C：的焦点为，过的直线与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线与圆有交点（）求直线的斜率的取值范围；（）求面积的取值范围19已知函数，（）当时，求函数在处
4、的切线方程；（）讨论函数的单调性；（）当函数有两个极值点，且证明：20设等差数列的首项为0，公差为，；等差数列的首项为0，公差为b，由数列和构造数表，与数表记数表中位于第行第列的元素为，其中记数表中位于第行第列的元素为，其中如：，（）设，请计算，；（）设，试求，的表达式（用，表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表.数学（附加题）21【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵，（）求AB；（）求B【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，
5、曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为（）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，满足，求面积的最大值与最小值C【选修45：不等式选讲】已知，为正实数，满足证明：（）；（）【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图，在三棱柱中，平面，分别为，中点（）求直线DE与平面所成角的正弦值；（）求二面角的大小23设N为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：对任意，存在k使得；对任意，存在，
6、使得（其中，2，N）（）判断能否等于或；（结论不需要证明）（）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由数学答案一填空题1 2 31 464 51 6 778 9 10 11 1213 14二解答题15解：（）在中，由余弦定理得：在中，由正弦定理得：（）为钝角.16解：（）在中，连接BD，设BD与AC交于点O，连接OE，分别是PD，BD的中点，又平面，平面AEC平面AEC（）连接PO，显然，平面PAC，又平面PAC当时，平面BDF在中，此时，17解：（）以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意知，直线方程为 （1）由，得，故直线的方程为 （2）联立（1）（2）
7、，得，即米故有轨观光直路的长米（）由题意知，若喷泉不会喷洒到观光车上，则满足对恒成立即当时，上式成立；当时，当且仅当时取等号，恒成立故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到18解：（）由题意知，l的斜率存在且不为0设l：，则l：得：，直线的斜率的取值范围为（）设，l直线方程与抛物线方程联立，得：由韦达定理，设点O到直线l的距离为由 所以面积的取值范围是19解：（）当时，在处的切线方程（）的定义域；当时，即，此时在单调递减；当时，即或，（i）当时，在，单调递减，在单调递增（ii）当时，在单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增（）由（）知，当时，有两个极值点，且满足：由题意
8、知，令则.在单调递增，在单调递减即20解：（）由题意，数列的通项公式为，数列的通项公式为得，则，得，则（）证明：已知，得数列的通项公式为，数列的通项公式为所以，所以，所以，若，则存在，使.若，则存在，使因此，对于整数，考虑集合，即下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，其中，则这两个元素的差为7的倍数，即所以，与矛盾所以假设不成立，即原命题成立即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，则存在，使，即，由已证可
9、知，若，则存在，使而，所以为负整数，设，则，且，所以，当，时，对于整数，若，则成立21【选做题】A选修42：矩阵与变换解：（）（）由题意，得B选修44：坐标系与参数方程解：（）由，的直角坐标方程由（为参数），消参，得：曲线的普通方程（）由P的极坐标为，得直角坐标，则点M到直线l的距离，故面积的最大值，最小值C选修45：不等式选讲解：（）由题意知，a，b，故又，当且仅当，“”成立（），当且仅当，“”成立【必做题】22解：（）方法一：定义法平面，平面又，平面，又平面显然，在中，在中，即又，平面，显然，设点到面的距离为，直线与平面所成角为由等体积法，故直线DE与平面所成角的正弦值方法二：空间向量（略）（）方法一：找平面角由（）知，平面，是二面角的平面角在中，故二面角的大小方法二：空间向量（略）23解：（）可以等于，但不能等于（）的最大值存在，且为200解答如下：由，得，互不相同，且对于任意，不妨设如果，那么对于条件，当时，不存在，使得这与题意不符，故如果，那么，这与条件中“存在，使得”矛盾，则故若存在，这与条件中“存在，使得”矛盾，故的最大值存在，且为200
