1、第38讲 推理与证明(一)【学习目标】1结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异【基础检测】1观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|y|2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|y|3 的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92【解析】
2、由已知条件知|x|y|n 的不同整数解(x，y)的个数为 4n，|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为 42080.B2观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第 n 个等式可为(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)【解析】根据等式两边的规律可知：第 n 个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)3观察下列不等式：1 12232，1 122 13253，1 122 132 14274，照此规律，第五个不等式为_1 122 132 142 152 162116【解析】归纳观察法 观察每行不等式的特点，每行不等
3、式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列 第五个不等式为 1 122 132 142 152 1620，nN)是等比数列，且ama，anb(mn，m，nN)则 amnnm bnam.现已知数列bn为等差数列，且 bma，bnb(mn，m，nN)，类比上述结论你可得到bmnnbmanm【点评】(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现功能；(4)类比推理的关键是找到合适的类比对象如平面几何中的一
4、些定理、公式、结论等，可以类比到空间立体几何中，得到类似结论一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平 面空 间点线 线面 圆球 三角形三棱锥 角二面角 面积体积 周长表面积 二、归纳推理例2(1)观察下列等式：312121 122；31212 423 12211322；31212 423 122 534 12311423；由以上各式推测第 n 个等式为31212 423 122n2n（n1）12n11（n1）2n(2)观察下列数据：凸多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015四棱锥558五棱锥6610请你归纳 F、V、E 之间关系是_FVE
5、2(3)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos2 48sin(18)cos 48；sin2(25)cos2 55sin(25)cos 55.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】解法一：()选择式，计算如下：sin2 15cos2 15sin 15cos 15112sin 3011434.()三角恒等式为 sin2
6、cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2 cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30 sin)2sin(cos 30cos sin 30sin)sin2 34cos2 32 sin cos 14sin2 32 sin cos 12sin2 34sin2 34cos2 34.解法二：()同解法一()三角恒等式为 sin2 cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2 cos2(30)sin cos(30)1cos 221cos（602）2sin(cos 30cos sin 30sin)1212cos 21212(cos
7、 60cos 2sin 60sin 2)32 sin cos 12sin2 1212cos 21214cos 2 34 sin 234 sin2 14(1cos 2)114cos 21414cos 234.【点评】归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想，来年需注意类比推理以及创新性问题的考查三、演绎推理例3已知函数 yxax有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，a上是减函数，在(a，)上是增函数(1)如果函数 yx2bx(x0)的值域为6，)，求 b 的值；(2)研究函数 yx2 cx2(常数 c0)在定义域内的单调性，并说明理由【解析】(1)用三
8、段论方式进行说明 yxax有如下性质：如果常数 a0，那么该函数在(0，a上是减函数，在(a，)上是增函数 又 yx2bx(x0)中 2b0 为常数 yx2bx 是 yxax(a0)型函数，yx2bx 在(0，2b上是减函数，在(2b，)上是增函数 当 x 2b时，yx2bx 取最小值，又 yx2bx 的值域为6，)2b 2b2b6，即 2b3，2b9blog29.(2)设 f(x)yx2 cx2，则 xR 且 x0，有 f(x)f(x)，故 f(x)为偶函数，先研究 x0 时的单调性，然后根据偶函数的性质求 x0 时，令 tx2，则 ytct(c0)，则 ytct在(0，c)上是减函数，在
9、c，)上是增函数 yx2 cx2(x0，c0)，在(0，4 c上是减函数，在4 c，)上是增函数，根据偶函数性质，得 yx2 cx2在(，4 c上是减函数，在4 c，0)上是增函数【点评】演绎推理是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论备选题例4对于 nN*，将 n 表示为 nak2kak12k1a121a020，当 ik 时，ai1，当 0ik1 时，ai 为 0 或 1，定义 bn 如下：在 n 的上述表示中，当 a0，a1，a2，ak 中等于 1 的个数为奇数时，bn1，否则 bn
10、0.(1)b2b4b6b8_；(2)记 cm 为数列bn中第 m 个为 0 的项与第 m1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是_32【解析】(1)观察知 1a020，a01，b11；2121020，a11，a00，b21；依次类推 3121120，b30；4122021020，b41；5122021120，b50；6122121020，b60，b71，b81，b2b4b6b83；(2)由(1)知 cm 的最大值为 2.【点评】(1)本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题(2)信息迁移题也称信息给予题，构
11、成形式是设计一个陌生的数学情境，要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法灵活地进行迁移，进而解决问题的题型由于信息迁移题能有效地考查学生的自学水平和思维能力，因而一直受到广大学生、中学老师的重视，全国各地的高考题中，涌现出一批信息迁移试题，预计下一步会加强对学生迁移能力的考查，并且有可能与其他知识联系，综合考查1合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想3演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情
12、况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行4注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明1(2014 全国新课标)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_【解析】利用逻辑推理的知识求解 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市”，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的城市为 A.A2(2014 湖北)算数书竹简于上世
13、纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V 275L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为()A.227B.258 C.15750 D.355113B【解析】借助圆锥的体积公式，底面圆的面积、周长公式求解 设圆锥的底面圆半径为 r，则圆锥的底面圆周长 L2r，所以圆锥底面圆的半径 r L2，则圆锥的体积为 V13Sh13r2h13 L24
14、2h 112L2h.又 V 275L2h，所以 112L2h 275L2h，解得258.1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分；三角形的内角和是 180，四边形的内角和是 360，五边形的内角和是 540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.ABCD【解析】是类比推理，是归纳推理，不是合情推理C2正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结
15、论正确B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确C【解析】f(x)sin(x21)不是正弦函数，上述推理过程中，小前提不正确，选 C.3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)D【解析】由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选 D.4已知 x0，由不等式 x1x2x1x2，x 4x2x2x2 4x233 x2x2 4x23，我们可以得出推广结论：x axnn1(nN*)，则 a()A2n Bn2 C
16、3n DnnD5观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式应为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)26已知数列an为等差数列，若 ama，anb(nm1，m，nN)，则 amnnbmanm.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN)，若 bmc，bnd(nm2，m，nN)，则可以得到 bmnnm dncm【解析】法一：设数列an的公差为 d1，则 d1anamnm banm.所以 amnamnd1an banmbnamnm 类比推导方法可知：设数列bn的公比为 q，由 bnbmqnm 可知 dcqnm，所以 qnm dc，所以 bmn
17、bmqncnmdcnnm dncm.法二：(直接类比)设数列an的公差为 d1，数列bn的公比为 q，因为等差数列中 ana1(n1)d1，等比数列中 bnb1qn1，因为 amnnbmanm，所以 bmnnm dncm.7如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 9a2a3 9a3a4 9a4a59a2 015a2 0162 0142 015【解析】(1)由于图案的点数可知 a23，a36，a49，a512，an3n3，n2，9anan1 93（n1）3n 1n（n1）1n11n，9a2a3 9a3a4 9a4a59a2 015a2 016112121312 01412 0152 0142 015.8在数列an中，a11，an1 2an2an，nN*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说说理由.【解析】在an中，a11，a2 2a12a123，a3 2a22a21224，a4 2a32a325，所以猜想an的通项公式 an 2n1.这个猜想是正确的 证明如下：a11，an1 2an2an，1an12an2an 1an12，即 1an1 1an12，数列1an 是以 1a11 为首项，12为公差的等差数列，1an112(n1)12n12，通项公式 an 2n1.
