1、第一章 章末检测（A）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若ab，A2B，则cosB等于()A.B.C.D.答案B解析由正弦定理得，ab可化为.又A2B，cosB.2.在ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则等于()ABC.D.答案A解析由余弦定理得cosA.|cosA32.3在ABC中，已知a，b，A30，则c等于()A2B.C2或D以上都不对答案C解析a2b2c22bccosA，515c22c.化简得：c23c100，即(c2)(c)0，c2或c.4根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()Aa8，b16，A3
2、0，有两解Bb18，c20，B60，有一解Ca5，c2，A90，无解Da30，b25，A150，有一解答案D解析A中，因，所以sinB1，B90，即只有一解；B中，sinC，且cb，CB，故有两解；C中，A90，a5，c2，b，即有解，故A、B、C都不正确5ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A.B.C.D9答案C解析设另一条边为x，则x22232223，x29，x3.设cos，则sin.2R，R.6在ABC中，cos2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形答案A解析由cos2c
3、osA，又cosA，b2c2a22b2a2b2c2，故选A.7已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若ac，且A75，则b等于()A2B.C42D42答案A解析sinAsin75sin(3045)，由ac知，C75，B30.sinB.由正弦定理：4.b4sinB2.8在ABC中，已知b2bc2c20，a，cosA，则ABC的面积S为()A.B.C.D6答案A解析由b2bc2c20可得(bc)(b2c)0.b2c，在ABC中，a2b2c22bccosA，即64c2c24c2.c2，从而b4.SABCbcsinA24.9在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A
4、.B.C.D.答案B解析设BCa，则BMMC.在ABM中，AB2BM2AM22BMAMcosAMB，即72a24224cosAMB在ACM中，AC2AM2CM22AMCMcosAMC即6242a224cosAMB得：72624242a2，a.10若，则ABC是()A等边三角形B有一内角是30的直角三角形C等腰直角三角形D有一内角是30的等腰三角形答案C解析，acosBbsinA，2Rsin Acos B2Rsin Bsin A,2Rsin A0.cos Bsin B，B45.同理C45，故A90.11在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为
5、()A.B.C.或 D.或答案D解析(a2c2b2)tan Bac，tan B，即cos Btan Bsin B.0B，角B的值为或.12ABC中，A，BC3，则ABC的周长为()A4sin3 B4sin3C6sin3 D6sin3答案D解析A，BC3，设周长为x，由正弦定理知2R，由合分比定理知，即.2x，即x323232323636sin.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13在ABC中，_.答案014在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2c2b2ac，则角B的值为_答案解析a2c2b2ac，cosB，B.15已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所
6、对的边若a1，b，AC2B，则sinC_.答案1解析在ABC中，ABC，AC2B.B.由正弦定理知，sinA.又ab.A，C.sinC1.16钝角三角形的三边为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是_答案a3解析由.解得a0，且0B，sinB.由正弦定理得，sinA.(2)SABCacsinB4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22accosB225222517，b.21(12分)(2010辽宁)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解(1)由已知
7、，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccosA，故cosA，A120.(2)方法一由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，又A120，sin2Bsin2CsinBsinC，sinBsinC1，sinC1sinB.sin2B(1sinB)2sinB(1sinB)，即sin2Bsin B0.解得sin B.故sin C.BC30.所以，ABC是等腰的钝角三角形方法二由(1)A120，BC60，则C60B，sinBsinCsinBsin(60B)sinBcosBsinBsin Bcos Bsin(B60)1，B30，C30.ABC是等腰的钝角三角形22(14分)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积(1)证明mn，asinAbsinB，即ab，其中R是ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)解由题意知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去ab1)，SABCabsinC4sin.
