1、课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.53C.103D.10答案:D解析:如图,在RtABC中,AC=10,ACB=60.AB=53,BC=5,在RtABD中,ADB=30,BD=15.CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为km.答案:302解析:根据题意画出图
2、形,如图所示,可得B=75-30=45,在ABC中,根据正弦定理得,ACsinB=BCsinBAC,即6022=BC12,BC=302km,即此时船与灯塔的距离为302km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在BCD中,由余弦定理得cosBDC=212+202-31222120=-17.设ADC=,则cos=17,sin=
3、437.在ACD中,由正弦定理,得AC=21sinsin60=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是,(),则A点距离地面的高度AB等于()A.asinsinsin(-)B.asinsincos(-)C.asincossin(-)D.acossincos(-)答案:A解析:在ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=asinsin(-),在RtACB中,AB=ACsin=asinsinsin(-).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
4、60和30,第一排和最后一排的距离为106 m(如图所示),则旗杆的高度为()A.10 mB.30 mC.103 mD.106 m答案:B解析:如图所示,由题意知AEC=45,ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知CEsinEAC=ACsinCEA,AC=CEsinCEAsinEAC=203(m),在RtABC中,AB=ACsinACB=30(m).旗杆的高度为30m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船
5、立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,则sin 的值等于()A.217B.22C.32D.5714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22010cos120=700,BC=107.再由正弦定理得ABsinACB=BCsinCAB,sinACB=ABsinCABBC=20sin120107=217.又0ACB38.无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船
6、只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+其中sin=2626,090且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)因为AB=402,AC=1013,BAC=,sin=2626,040=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-ABC)=1555=35d2B.d1=d2C.d1d
7、2D.不能确定大小答案:C解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知=.在PBC中,d1sin=PBsinPCB,在PCD中,d2sin=PDsinPCD,sin=sin,sinPCB=sinPCD,d1d2=PBPD.PBPD,d1d2.6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30,过1 min后到B再测得仰角为45,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.答案:15(3+1)4解析:如图,DCA=60,DCB=45,设飞机高为h,则BD=h,AD=3h.又AB=450160=7.5,由AD-BD=AB得3h-h=
8、7.5.h=7.53-1=15(3+1)4.7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.答案:32解析:如图,由条件知,AB=241560=6(km).在ABS中,BAS=30,AB=6,ABS=180-75=105,ASB=45.由正弦定理,得BSsin30=ABsin45,BS=6sin30sin45=32.8.海上一观测站测得方位角为240的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站1
9、07 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过min,海盗船到达商船.答案:403解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20min后,海盗船到达D处,在ADC中,AC=107,AD=20,CD=30,由余弦定理,得cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=400+900-70022030=12.ADC=60,在ABD中,由已知,得ABD=30,BAD=60-30=30,BD=AD=20,209060=403(min).9.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75方向,距离为126 km,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30方向,距离为
10、83 km,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120方向,求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处的距离.解:(1)在ABD中,ADB=60,B=45,由正弦定理得AD=ABsinBsinADB=1262232=24(km).A处与D处的距离为24km.(2)在ACD中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcos30,解得CD=83(km).灯塔C与D处的距离为83km.10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60相距20(3+1) n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以102 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线
11、前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1) h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD=20,AC=20.由题意AB=20(3+1),DC=202,BC=(3+1)102.在ADC中,DC2=AD2+AC2,DAC=90,ADC=45.在ABC中,由余弦定理得cosBAC=AC2+AB2-BC22ACAB=32.BAC=30.又B位于A南偏东60,60+30+90=180,D位于A的正北方向.又ADC=45,台风移动的方向为向量CD的方向.即北偏西45方向.答:台风向北偏西45方向移动.
