1、第6讲 函数的单调性【学习目标】1了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性2利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围【基础检测】1下列函数中，满足“对任意 x1，x2(0，)，当 x1f(x2)”的是()Af(x)1xBf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)【解析】由题意知，函数 f(x)在(0，)上是减函数而反比例函数 f(x)1x在(0，)上是减函数故选 A.A2函数 y x22x3的单调递减区间是()A(，3 B1，)C(，1)D1，)【解析】由 x22x30 得 x1 或 x3，则单调递减区间为(，3，故选 A.A3函数 f(x)11x在3，4)
2、上()A有最小值无最大值B有最大值无最小值C既有最大值又有最小值D最大值和最小值皆不存在【解析】函数 f(x)在3，4)上是增函数，又函数定义域中含有 3 而没有 4，所以该函数有最小值无最大值，故选 A.A4已知函数 f(x)（a2）x，x2，12x1，x2满足对任意的实数 x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为_.【解析】函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，（a2）21221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是，138.，138【知识要点】1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，
3、如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数.当x1x2时，都 有_，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象特征自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的f(x1)f(x2)(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做 f(x)的单调区间2函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导法数：利用导数研究函数的单调性(4)图
4、象法：利用图象研究函数的单调性增函数减函数【解析】解法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取 x1，x2，令x1x2，那么 f(x2)f(x1)x2 kx2 x1 kx1(x2x1)k1x2 1x1(x2x1)x1x2kx1x2.因为 0 x10，x1x20.故当 x1，x2(k，)时，f(x1)0)的单调性当 x1，x2(0，k)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，k)上单调递减 考虑到函数 f(x)xkx(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，k)上单调递增，在(k，0)上单调递减 综上，函数 f(x)在(，k)和(k，)上单调递增，
5、在(k，0)和(0，k)上单调递减 解法二：f(x)1 kx2.令 f(x)0 得 x2k，即 x(，k)或 x(k，)，故函数的单调增区间为(，k)和(k，)【点评】1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形要彻底 2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确令 f(x)0 得 x2k，即 x(k，0)或 x(0，k)，故函数的单调减区间为(k，0)和(0，k)故函数 f(x)在(，k)和(k，)上单调递增，在(k，0)和(0，k)上单调递减【解析】函数 f(x)log2x 11x在(1，)上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1，2)时，f(x1)f
6、(2)0，即 f(x1)0.故选 B.二、函数单调性的应用例2(1)已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1，2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0B【解析】作出函数 f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在 R 上是单调递减的由 f(a24)f(3a)，可得 a243a，整理得 a23a40，即(a1)(a4)0，解得1af(3a)的解集为()A(2，6)B(1，4)C(1，4)D(3，5)B2243,0,23,0,xxxxxx【解析】函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，令 x
7、y0，得 f(0)0.再令 yx，得 f(x)f(x)在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当 x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，f(x)在(，21)上是增函数；三、函数单调区间的求法例3已知函数 f(x)x33ax23x1.(1)当 a 2时，讨论 f(x)的单调性；(2)若 x2，)时，f(x)0，求 a 的取值范围当 x(21，21)时，f(x)0，f(x)在(21，)上是增函数(2)由 f(2)0 得 a54.当 a54，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)对称轴 xa54f(2)3
8、(54a)0，所以 f(x)在(2，)上是增函数，于是当 x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a 的取值范围是54，.【解析】(1)当 x1 时，f(x)xx1等价于 ex1x.令 g(x)exx1，则 g(x)ex1.当 x0 时，g(x)0，g(x)在0，)上是增函数；当 x0 时，g(x)0，g(x)在(，0上是减函数 于是 g(x)在 x0 处达到最小值，因而当 xR 时，g(x)g(0)0，即 ex1x，所以当 x1 时，f(x)xx1.备选题例4设函数 f(x)1ex.(1)证明：当 x1 时，f(x)xx1；(2)当 x0 时，f(x)xax1，求 a 的取值范围(2)由题设
9、x0，此时 f(x)0.当 a1a，则xax112时，xf(x)h(x)af(x)axf(x)axf(x)af(x)axf(x)af(x)f(x)(2a1ax)f(x)当 0 x0.所以 h(x)h(0)0，即 f(x)xax1.综上，a 的取值范围是0，12.1在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程，同时应充分注意函数的等价性2函数单调性的证明方法：定义证明法导数证明法3判断函数的单调性的方法：观察法；图象法；定义法；复合函数法；导数法注意
10、：确定单调性一定是相对于某个区间而言，并且一定要在定义域内4运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)f(x)f(|x|)5已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件1(2014 陕西)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)12xBf(x)x3Cf(x)12xDf(x)3x【解析】由于 f(xy)f(x)f(y)，故排除选项 A，B.又 f(x)12x为单调递减函数
11、，所以排除选项 C.D【命题立意】本题主要考查函数单调性的判定及函数运算法则，属容易题2(2014 天津)函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)D【解析】要使 f(x)单调递增，需有解得 x0，则一定正确的是()A函数 f(x)在定义域(0，)上为增函教B函数 f(x)在定义域(0，)上为减函教C函数 f(x)在定义域(0，)上为先增后减函教D函数 f(x)在定义域(0，)上为先减后增函教 A【解析】由(x1x2)(f(x1)f(x2)0 知若 x1x2，则f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，)上递增，故选 A.2下列函数中，在区
12、间(0，2)上为增函数的是()Ayx1 By12xCyx24x5 Dyx1xB【解析】由已知得：，解得：94a0.由可得 0a1，故选 D.D5函数 yloga(x22x3)，当 x2 时，y0，则此函数的单调减区间是_【解析】当 x2 时，yloga50，a1.由 x22x30 x3 或 x1，易知函数 tx22x3 在(，3)上递减 故函数 yloga(x22x3)(其中 a1)在(，3)上递减(，3)6设函数 yf(x)在 R 上有定义，对于给定的实数 k定义函数，若函数，则函数 f12(x)的单调递减区间为_【解析】作图后会发现 f12(x)在区间1，)上单调递减().()(),()k
13、f x f xkfxk f xk 2,0()2,0 xxxf xx 1，)121(),()211,()22f xf xff x(),(,11,)1,(1,1)2f x xx 7已知函数 f(x)a 1|x|.(1)求证：函数 yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)2x 在(1，)上恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)证明：当 x(0，)时，f(x)a1x，设 0 x10，x2x10.f(x1)f(x2)a 1x1 a 1x2 1x2 1x1x1x2x1x2 0.f(x1)f(x2)，即 f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意 a1x2x 在(1，)上恒成立，设 h(x)2
14、x1x，则 ah(1)3，a3，a 的取值范围为(，38已知函数 f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 a1.如果对任意 x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求 a 的取值范围【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)a1x 2ax2ax2a1x.当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；当1a0 时，令 f(x)0，解得 xa12a.则当 x0，a12a时，f(x)0；当 xa12a，时，f(x)0.故f(x)在0，a12a上 单 调 递 增，在a12a，上单调递减(2)不妨假设 x1x2，而 a1，由(1)知 f(x)在(0，)上单调递减，从而x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于 x1，x2(0，)，f(x2)4x2f(x1)4x1.令 g(x)f(x)4x，则 g(x)a1x 2ax4，等价于 g(x)在(0，)上单调递减，即a1x 2ax40.从 而a 4x12x21（2x1）24x222x21（2x1）22x212，故 a 的取值范围为(，2
