1、学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1在ABC中，若B60，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_【解析】在ABD中，ABD60，AB1，BD2，由余弦定理得AD23，故AD.【答案】2如图123所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_ km.图123【解析】CACBa，ACB1802040120，AB2AC2CB22ACCBcos ACB，即AB2a2a2a23a2，ABa.【答案】a3如图124所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走
2、了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_图124【解析】由余弦定理：x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1(舍去)【答案】44在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围为_【解析】在钝角ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角所以c2a2b2145，即c，又因cab123，所以c0，cx所对的最大角变为锐角【答案】锐角三角形6(2016南通高二检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若SABC，则角C的大小为_. 【导学号：91730014】【解析】SABC，absin C2abcos C，tan C1，又C(0，)，C.【答案】7(2016扬州高二检
3、测)在ABC中，AB7，BC5，AC6，则AB等于_【解析】由余弦定理得cos B.B|cos B7519.【答案】198在ABC中，若sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是_【解析】由正弦定理，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A.又A(0，)且ycos x在(0，)上是减函数，故A.【答案】二、解答题9ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值【解】由cos A，得sin A.又bcsin A30，bc156.(1)bccos A156144.(2)a2b2c2
4、2bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，a5.10(2016苏州高二检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2b(bc)(1)求证：A2B.(2)若ab，判断ABC的形状【解】(1)证明：由a2b(bc)得a2b2bc，又cos B，2sin Acos Bsin Bsin Csin Bsin(AB)即sin Bsin(AB)，BAB或ABB，A2B或A不成立，故A2B.(2)ab，.又由a2b(bc)可得c2b，cos B，所以B30，A2B60，C90，ABC为直角三角形能力提升1(2015天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
5、c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_【解析】在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得【答案】82如图125，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C_.图125【解析】设ABa，则ADa，BD，BC2BD，cos A，sin A.由正弦定理知sin Csin A.【答案】3在ABC中，若lg alg clg sin Alg，并且A为锐角，则ABC为_三角形【解析】lg alg clg sin Alg，sin A.A为锐角，A45，sin Csin Asin 451，C90.【答案】直角4.如图126所示，甲船以30 n mi
6、le/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距20 n mile，当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处，此时两船相距10 n mile.求乙船的航行速度图126【解】如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得，B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.B1B210.因此，乙船速度的大小为6030(海里/时)答：乙船每小时航行30海里
