1、13空间向量及其运算的坐标表示13.2空间向量运算的坐标表示 课程目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直.2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 知识点空间向量运算的坐标表示1空间向量的坐标运算：设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab_(a1b1，a2b2，a3b3)_；ab_(a1b1，a2b2，a3b3)_；a_(a1，a2，a3)_，R；ab_a1b1a2b2a3b3_2空间向量的平行、垂直及模、夹角：设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，当b0时，abab_a1b1，a2b2，a
2、3b3_，R；abab0_a1b1a2b2a3b30_；|a|_；cos a，b.3空间两点间的距离：已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1，P2两点间的距离P1P2|P1P2|.研读空间向量是平面向量在空间中的拓展，可以结合平面向量的坐标运算运用类比的方法研究空间向量的坐标运算 判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间向量运算的坐标表示是把几何问题代数化()(2)平面上两点间的距离公式是空间中两点间的距离公式的特例()(3)已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab.()(4)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同()(
3、5)若a(1，2，3)，b(x，y，z)，则abx2y3z0.()(1)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，1，2)，(4，5，1)，(2，2，3).若()，则点P的坐标为_(2)已知a(m2，2，3m)，b(1，n，2n)(n0)，若ab，|b|，则mn的值为_0_【解析】 (1)(2，6，3)，(4，3，1)，(6，3，4).设点P的坐标为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)，()，x5，y，z0，则点P的坐标为.(2)由b(1，n，2n)(n0)，|b|，得，整理得2n24n55，即n22n0，因为n0，解得n2，所以b(1，2，0).因为ab，所以ab0，因为b(1，2
4、，0)，所以(m2，2，3m)(1，2，0)0，即m22200，解得m2，所以mn0. 活学活用已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，设p，q.求：(1)p3q；(2)3pq；(3)(pq)(pq).解：因为A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，1，4)，D(2，1，2)，所以p(2，1，3)，q(2，0，6).(1)p3q(2，1，3)3(2，0，6)(2，1，3)(6，0，18)(8，1，15).(2)3pq3(2，1，3)(2，0，6)(6，3，9)(2，0，6)(4，3，15).(3)(pq)(pq)p2q2|p|2
5、|q|2(221232)(220262)26.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.例2题图例2答图证明：(1)如图，建立空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0，0，1).又点A，M的坐标分别是，.又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知.D(，0，0)，F(，1)，(0，1)，0，.同理，.又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF，AM平面BDF.规律方法判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空
6、间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据x1x2y1y2z1z2是不是0判断两向量垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或(x2，y2，z2都不为0)判断两向量平行 活学活用已知a(1，1，2)，b(6，21，2).(1)若ab，分别求与的值；(2)若|a|，c(2，2，)且a与c垂直，求a解：(1)由ab，得(1，1，2)k(6，21，2)，所以解得k，3.(2)因为|a|，且ac，所以化简，得解得1.因此a(0，1，2).如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，C
7、ACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求BA1与CB1所成角的余弦值解：如图，以，CC1为基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，所以BN|，所以线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，所以BA1(1，1，2)，CB1(0，1，2)，所以BA1CB110(1)1223.又|BA1|，|CB1|，所以cos BA1，CB1，故BA1与CB1所成角的余弦值为. 活学活用在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H
8、为C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求与C1G夹角的余弦值；(3)求FH的长解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G，H.所以，B1C(0，1，0)(1，1，1)(1，0，1)，所以B1C(1)0(1)0，所以B1C，即EFB1C.(2)因为C1G(0，1，1)，所以|C1G|.又C1G0(1)，|，所以cos ，C1G.即与C1G夹角的余弦值为.(3)因为F，H，所以，所以|.1已知向量a(1，2，1)，b(3，x，y)，且ab，那么xy(D)A18 B9C9 D182已知A(1，1，1)，B(4，3，1)，则线段AB的长为(B)A3BCD3已知向量a(3，2，1)，b(2，4，0)，则4a2b等于(D)A(16，0，4) B(8，16，4)C(8，16，4) D(8，0，4)4已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且ab与2ab互相垂直，则的值是(D)A1 BCD5与向量m(0，1，2)共线的向量是(A)A B(3，6，12)C(1，1，2) D(2，0，4)6已知向量a(1，2，2)，b(2，4，k)，若ab，则|b|的值为_3_
