1、单元素养评价(三)(第4章)(120分钟150分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在等差数列中，a21，a45，则的前5项和S5()A7 B15 C20 D25【解析】选B.因为a21，a45，所以a1a5a2a46，所以数列的前5项和S5615.2(2021信阳高二检测)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为()A2升 B3升 C4升 D5升【解析】选B.设此等差数列为an，公差d0，由题意可得：a1a2a36，a7a8a912
2、，所以a22，a84，由a8a26d，得d，则a5a23d233.3设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为()A B C D1【解析】选A.4已知数列满足a11，an1ranr，(nN，rR，r0)，则“r1”是“数列为等差数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.当r1时，an1ranran1an1，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；因为an1ranr，a11，所以a22r，a32r2r，所以若数列为等差数列，则4r12r2r，所以r1或r，即必要性不成立，综上，“r1”是“数列为等差数列”的充分不必要条件5设Sn是
3、等差数列的前n项和，若，则()A1 B1 C2 D【解析】选A.1.6在等差数列中，2(a1a4a7)3(a9a11)24，则此数列的前13项之和等于()A13 B26C52 D156【解析】选B.将2(a1a4a7)3(a9a11)24变为a16d2，再有S1313(a16d)13226.7(2021郑州高二检测)已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a11，a129a10，要使数列Sn为等比数列，则实数的值为()A B C2 D不存在【解析】选B.由公比q0，a129a10可得q3，而a11，所以Sn.若数列Sn为等比数列，则有(S2)2(S1)(S3)，即(4)2(1)(13)，解
4、得，于是Sn3n.而3，故时，数列Sn为等比数列8用数学归纳法证明(nN*，n2)的过程中，设f，从nk递推到nk1时，不等式左边为()AfBfCfDf【解析】选C.因为f，所以f，因此不等式左边为f.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9设等差数列的前n项和为Sn，且S4S5，S621，若恒成立，则的值不可以是()A1 B0 C1 D2【解析】选BC.设等差数列的公差为d，因为S4S5，所以4a1d，整理得12a118d10a120d，即a1d，由S621，可得6a1d21，即6a115d2
5、1，所以a1d1，所以Snn，所以，所以111，因为0，记数列的前n项和为Tn，则使得Tn2 020成立的n的值有()A7 B8 C10 D11【解析】选BCD.由题意，2Snan，当n2时，2Sn1an1，所以2an2Sn2Sn1anan1，整理得0，因为数列单调递增且Sn0，所以anan10，anan110，即anan11，当n1时，2S1a1，所以a11，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以ann，所以Tn121222323n2n，2Tn1222233242nn2n1，所以Tn22223242nn2n1n2n12n12，所以Tn2n12，所以T762821 538，T87292
6、3 586，所以Tn2 020成立的n的最小值为8.12已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数f，若数列ln f(an)为等差数列，则称函数f为“保比差数列函数”，则定义在(0，)上的如下函数中是“保比差数列函数”的有()Af(x)为“保比差数列函数”Bfx2为“保比差数列函数”Cfex为“保比差数列函数”Df为“保比差数列函数”【解析】选ABD.设数列an的公比为q(q1).由题意，ln f(an)ln ，所以ln f(an1)ln f(an)ln ln ln ln q是常数，所以数列ln f(an)为等差数列，A满足题意；由题意，ln f(an)ln an2，所以ln f
7、(an1)ln f(an)ln an12ln an2ln q22ln q是常数，所以数列ln f(an)为等差数列，B满足题意；由题意，ln f(an)ln e，所以ln f(an1)ln f(an)ln eln ean1an不是常数，所以数列ln f(an)不为等差数列，C不满足题意；由题意，ln f(an)ln ，所以ln f(an1)ln f(an)ln ln ln q是常数，所以数列ln f(an)为等差数列，D满足题意三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知数列的前n项和Sn满足4an3Sn2，其中nN*.则数列的通项公式为_【解析】由4an3Sn2，当n2时，4an
8、13Sn12，4an4an130，即4an4an13an0，整理得an4an1；当n1时4a13S12，解得：a12，由a12，得an0，4，其中n2.故数列是首项为2，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式得ana1qn124n1.答案：an24n114已知数列为等差数列，且a1a7a134，则tan (a2a12)的值为_【解析】由a1a7a134，可得a7，tantan 2a7tan .答案：15“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第
9、一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，若这堆货物总价是100200n万元，则n的值为_【解析】由题意可得第n层的货物的价格为ann，设这堆货物总价是Sn123n，由得Sn123n，由得Sn1nn10(10n)，所以Sn10010(10n)，因为这堆货物总价是100200n万元，所以n10.答案：1016(2021北京高二检测)如果数列an满足k(k为常数)，那么数列an叫作等比差数列，k叫作公比差给出下列四个结论：若数列an满足2n，则该数列是等比差数列；数列n2n是等比差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差
10、数列是等比差数列其中所有正确结论的序号是_【解析】数列an满足2n，则2(n1)2n2，满足等比差数列的定义，故正确；数列n2n，不满足等比差数列的定义，故错误；等比数列0，满足等比差数列，故正确；设等差数列的公差为d，则，故当d0时，满足0，故存在等差数列是等比差数列，即正确答案：四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设数列满足a11，an13an.(1)求的通项公式及前n项和Sn；(2)已知是等差数列，Tn为前n项和，且b1a2，b2a1a2a3，求T38.【解析】(1)因为数列满足a11，an13an，所以3，所以数列是以1为首项，3为公
11、比的等比数列，所以的通项公式an13n13n1，前n项和Sn.(2)由(1)可得b13，b213913，所以公差d10，所以T38383107 144.18(12分)已知数列的前n项和为Sn，且满足Sn2ann，(1)求a1，a2，a3，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解析】(1)因为Sn2ann，当n1时，a11，且Sn12an1n1，于是an12an1，从而可以得到a23，a37，猜想通项公式an2n1；(2)下面用数学归纳法证明：an2n1.当n1时，a11满足通项公式；假设当nk(kN*)时，命题成立，即ak2k1，由(1)知ak12ak121，ak12k11，即
12、当nk1时命题成立由可证an2n1成立19(12分)已知数列满足a1，且nN*时，an1，an，成等差数列(1)求证：数列an为等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)由题意，当nN*时，an1，an，成等差数列，则an12an，即an12an，所以an12an2，又因为a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)，知an2n1，即an2n1，nN*.所以Sna1a2an(121222n1)nn2nn1.20(12分)(2021汕头高二检测)已知等差数列an的公差为d(d0)，前n项和为Sn，且满足_(从S105(a101)；a1，a2，a6成等比数列；S53
13、5这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).(1)求an；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn0，所以Tn0，所以2000，即n228n640，解得142n142，因为5.7，所以2.6n25.4，所以公司从第3年开始获利(2)每台充电桩年平均利润为200200(228)2 400，当且仅当n，即n8时，等号成立即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2 400元22(12分)已知数列的前n项和为Sn，且Snan1n2，nN*，a12.(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设bn(nN*)的前n项和为Tn，证明：Tn0，所以Tn66.
