1、预习课本P7476，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？ (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？ 1向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，字母表示：用小写字母a，b，c，表示，手写时必须加箭头点睛向量可以用有向线段表示，但向量
2、不是有向线段向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段2向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度(2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：|，|a|.(3)特殊向量：长度为0的向量为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量点睛定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同3向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作ab；规定零向量与任
3、一向量平行点睛共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量能比较大小()(2)向量的模是一个正实数()(3)单位向量的模都相等()(4)向量与向量是相等向量()答案：(1)(2)(3)(4)2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速其中可以看成是向量的个数()A1 B2C3D4答案：B3已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A也可以用表示B方向是由M指向NC始点是M D终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有_答案：，向量的有关概念典例有下列说法：向量和向量长度相
4、等；方向不同的两个向量一定不平行；向量是有向线段；向量00，其中正确的序号为_解析对于，|AB，故正确；对于，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故错误；对于，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故错误；对于，0是一个向量，而0是一个数量，故错误答案(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手是否有大小；是否有方向(2)理解零向量和单位向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等单位向量不一定相等，易忽略向量的方向活学活用有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向
5、不确定，故其不能与任何向量平行其中正确说法的个数是()A1B2C3 D4解析：选A对于，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由|a|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误向量的表示典例在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：，使|4，点A在点O北偏东45；，使|4，点B在点A正东；，使|6，点C在点B北偏东30.解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的
6、横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量活学活用一辆汽车从A点出发向
7、西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点作出向量，.解：如图所示共线向量或相等向量典例如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，.(2)与a共线的向量有，.(3)与a相等的向量有，；与b相等的向量有，；与c相等的向量有，.一题多变1变设问本例条件不变，试写出与向量相等的向量解：与向量相等的向量有，.2变条件，变设问在本例中，若|a|1，则正六边
8、形的边长如何？解：由正六边形性质知，FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线层级一学业水平达标1下列说法正确的是()A向量就是所在的直线平行于所在的直线B长度相等的向量叫做相等向量C若ab，bc，则acD共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要
9、求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错2.如图，在圆O中，向量，是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量解析：选C由图可知，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A向量与向量一定同向B向量，向量，向量一定共线C向量与向量一定相等D以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知，这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C根据向量的基本概念可知与平行
10、的向量有，共3个5已知向量a，b是两个非零向量，分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A B或C1 D|解析：选D由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错又与均为单位向量|，故C错D对6已知|1，|2，若ABC90，则|_.解析：由勾股定理可知，BC，所以|.答案：7设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是_(填序号)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.答案：8给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_(填
11、序号)解析：若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有ab；零向量与任意向量平行，所以若|a|0或|b|0，则ab.答案：9.如图，O是正方形ABCD的中心(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与的模相等的向量解：(1)与向量相等的向量是.(2)与的模相等的向量有：，.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出
12、，.(2)求B地相对于A地的位移解：(1)向量，如图所示(2)由题意知.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形所以，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60的方向距A地6千米”层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式成立的是()ABC D解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，与方向不同，故错误；B中，与方向不同，故错误；C中，与方向相反，故错误；D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故正确2下列说法正确的是()A若ab，bc，则acB终点相同的两个向量不共线C若ab，则a
13、一定不与b共线D单位向量的长度为1解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若b0，则a与c不一定平行B中，两向量终点相同，若夹角是0或180，则共线C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线3若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正确的是()A BC D解析：选Ba为任一非零向量，所以|a|0，故正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误故选B.4在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A一组 B二组C三组 D四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组
14、向量相等，即.5四边形ABCD满足，且|，则四边形ABCD是_(填四边形ABCD的形状)解析：，ADBC且|，四边形ABCD是平行四边形又|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为_；与向量共线的向量为_；与向量的模相等的向量为_(填图中所画出的向量)解析：O是正三角形ABC的中心，OAOBOC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，.答案：，7如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度
15、相等的向量(2)写出图中所示向量与向量相等的向量(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量解：(1)与长度相等的向量是，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.8如图，已知函数yx的图象l与直线m平行，A，B(x，y)是m上的点求(1)x，y为何值时，0；(2)x，y为何值时，为单位向量解：(1)要使0，当且仅当点A与点B重合，于是(2)如图，要使得是单位向量，必须且只需|1.由已知，lm且点A的坐标是，所以B1点的坐标是.在RtAOB1中，有| |2|2|2221，即|1.上式表示，向量是单位向量同理可得，当B2的坐标是时，向量AB2也是单位向量综上有，当或时，向量是单位向量
