1、第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系对应学生用书P51【梳理自测】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1(2012高考重庆卷)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3B1C1 D32已知sin()，sin()，则的值为_3(课本精选)化简：sin 200cos 140cos 160sin 40_答案：1.A2.3.以上题目主要考查了以下内容：(1)C()：
2、cos ()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan() .(6)T()：tan() .二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1(教材改编)下列各式的值为的是()A2cos21 B12sin275C. Dsin 15cos 152已知sin ，则cos(2)等于()A BC. D.3(cos 15cos 75)(sin 75sin 15)()A. B.C. D1答案：1.D2.B3.C以上题目主要考查了以下内容：(
3、1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin212sin22cos21；(3)T2：tan 2三、形如asin bcos 的化简asin bcos sin()，其中cos ，sin ，即tan .【指点迷津】1一个源头公式cos()是所有公式的源头，其它公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出2两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等3三种应用公式有正用、逆用、变形用如：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan ()(1tan tan )cos2cos2sin2sin2(降幂公式)c
4、os ，sintan .(半角公式)sin cos sin等对应学生用书P51考向一三角函数的化简(1)化简：(0)(2)化简：2sin 50sin 10(1tan 10).【审题视点】(1)把分母22cos 开方，通过约分而化简(2)非特殊角转化为特殊角【典例精讲】(1)原式.又2，.cos 0.原式cos .(2)原式sin 80cos 102cos(1040)2cos 30.【类题通法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见
5、的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等1化简：.解析：原式cos 2x.考向二三角函数式求值或求角问题(1)(2014安徽合肥模拟)若是第二象限角，sin().求的值；(2)已知函数f(x)tan(2x)，设，若f2cos 2，求的大小【审题视点】(1)寻找已知值与所求代数式的关系(2)由f2cos 2，切化弦，求sin 2的值进而求角.【典例精讲】(1)由sin()，得sin ，又是第二象限角，cos .而因此原式.(2)由ftan2cos 2，得2(cos2sin2)整理得2(cos sin )(cos sin )，又
6、，sin cos 0.(cossin )2，sin 2.又，2，2，即.【类题通法】(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的2(2014亳州质检)已知tan2，tan .(1)求tan 2的值；(2)求的值解析：(1)tan2，2.2.tan .tan 2
7、.(2)tan().考向三三角恒等变换的综合应用(2013高考湖南卷)已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合【审题视点】(1)利用三角恒等变换公式将f(x)，g(x)化简为只含一个角的一种三角函数后求解；(2)将f(x)g(x)变形为只与sin x有关的不等式求解【典例精讲】f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()，得sin .又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于si
8、n x1cos x，即sin xcos x1，于是sin，从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为.【类题通法】(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asin bcos sin()的形式去讨论这样的变形，主要是角的确定(2)对于三角函数式中含有sin2x(cos2x)一般先采取降幂，再化为一角一函数型：yAsin(x)3(2014枣庄市模拟)已知0，且tan2.(1)求的值；(2)令f(x)sin(xR)，求f(1)f(2)f(3)f(2 014)的值解析：(1)由tan2得2解得tan 1又0，所以.(2)由(1)，知f(x)sin，其最小正周期T4
9、，f(1)sin，f(2)sin，f(3)sincos，f(4)sin，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 013)f(2 014)0f(1)f(2)0.对应学生用书P53 三角恒等变换规范答题(2013高考广东卷)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.【审题视点】(1)把x代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.(2)由cos 求出sin ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.【思维流程】诱导公式直接求值同角公式求sin .倍角公式求cos 2.倍角公式求sin
10、 2.和角余弦公式求值【解题过程】(1)因为f(x)cos，所以fcoscoscos 1.2分(2)因为，cos ，所以sin ，4分cos 22cos2121，6分sin 22sin cos 2.8分所以fcoscos10分cos 2sin 2.12分【规范建议】第二步求sin 时，注意用条件，否则发生符号错误第三步：求cos 2时，公式cos2sin2，2cos21，12sin2都可用，但最好还是用2cos21，减少出错机会1(2013高考江西卷)若sin ，则cos ()ABC. D.解析：选C.cos 12sin2121.2(2013高考全国新课标卷)已知sin 2，则cos2()A.
11、 B.C. D.解析：选A.结合二倍角公式进行求解sin 2，cos2.3(2013高考重庆卷)4cos 50tan 40()A. B.C. D21解析：选C.借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解4cos 50tan 404sin 40.4(2013高考北京卷)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解析：(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1.因为，所以4.所以4，故.
