1、第1章 坐标系1.1 坐标系的作用 1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 学习目标重点难点1.体会坐标系的作用2.了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况3.能够建立适当的直角坐标系，运用坐标法解决数学问题.1.重点是用坐标法思想解决问题2.难点是平面直角坐标系中的伸缩变换.1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：有了坐标系，不仅使_的位置得以精确描绘，而且可以使_用代数方程来表达(2)坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_元素，将几何问题转化为_问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果转化成_结论几何图形曲线的
2、形象几何代数几何如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：如果图形有对称中心，就选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，就选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能在坐标轴上；如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)变换公式xx，yky k0，把 xOy 平面上的点(x，y)变换成 xOy 平面上的一点(x，y)，这种变换称为_的伸缩变换当 k1 时是_过程，0k1 时是_过程平行于y轴拉伸压缩(2)变换公式xlx l0，yy，把 xOy 平面上的点(x，y)变换成 xOy 平面上的一点(x，y)，这种变换称为_的伸缩变换当 l1 时是
3、_过程，当 0l1 时是_过程平行于x轴拉伸压缩求 x29y21 经过伸缩变换xx，y3y后的图形所对应的方程解：由伸缩变换xx，y3y，得xx，y13y.将其代入 x29y21，得 x2913y 21.整理，得 x2y21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x2y21.已知一动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r，圆心为O(x，y)，则O到定圆圆心(2,0)的距离为r1.O到直线x1的距离为r.所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等因此，可判断动圆圆心O的轨迹为抛物线由抛物线的定义知其方程为y28x.曲线方程【点评】求轨迹方程的实质
4、就是根据题设条件，把几何关系转化为代数关系，得到相应的方程求轨迹方程的常用方法如下：(1)直接法：若题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，则可用求曲线方程的步骤直接求解(2)定义法：若动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即得所求轨迹方程(4)参数法：动点P(x，y)的横、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程1已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，且
5、BC4，点A到直线l的距离为3.求ABC的外心的轨迹方程解法一：(直接法)如图，建立平面直角坐标系，使x轴与直线l重合，点A在y轴上，则A(0,3)设外心P(x，y)，因为 P 在 BC 的垂直平分线上，BC4，所以 B(x2,0)因为 P 也在 AB 的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即 x2y32 22y2.化简，得 x26y50.这就是所求的轨迹方程解法二：(参数法)建立平面直角坐标系如法一，得 A(0,3)设 BC 边的垂直平分线的方程为 xt，则点 B 的坐标为(t2,0)于是 AB 的中点是t22，32.故 AB 的垂直平分线方程为 y32t23xt22.由消去 t，得 x26y
6、50，即为所求已知等边三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2|PB|2|PC|2最小，并求出此最小值解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示运用坐标法解决平面几何问题则 A0，32 a，Ba2，0，Ca2，0.设 P(x，y)，则|PA|2|PB|2|PC|2x2y 32 a 2xa22y2xa22y23x23y2 3ay5a24 3x23y 36 a 2a2a2.当且仅当 x0，y 36 a 时，等号成立【点评】坐标法解决几何问题的步骤：第一步，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二
7、步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论故所求最小值为 a2，此时点 P 的坐标为0，36 a，它是等边三角形 ABC 的中心2已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：AM2CM2BM2DM2.证明：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)设B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)，则AM2CM2x2y2(xa)2(yb)22(x2y2)(a2b2)2(axby)，BM2DM2(xa)2y2x2(yb)22(x2y2)(a2b2)2(axby)所以AM2CM2BM2DM2.平面直角坐标系中的伸缩
8、变换在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的曲线经过伸缩变换xx，y2y及x13x，yy后的曲线对应的方程：(1)x2y10；(2)x2y21.解：(1)由xx，y2y，得xx，y12y.代入 x2y10，得 x212y 10.整理，得 xy10.由x13x，yy，得x3x，yy.代入 x2y10，得 3x2y10.所以，经过变换xx，y2y及x13x，yy后，直线 x2y10 分别变成直线 xy10 和直线 3x2y10.(2)由xx，y2y，得xx，y12y.代入 x2y21，得 x212y 21.整理，得 x2y24 1.由 x13x，yy，得x3x，yy.代入 x2y21，得(3x)2y
9、21.整理，得 9x2y21.所以，经过变换xx，y2y及x13x，yy后，圆 x2y21 分别变成椭圆 x2y24 1 和椭圆 9x2y21.【点评】解题时，将公式xx，y2y及x13x，yy变形为xx，y12y及x3x，yy是关键3求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 x2y21 变成曲线x29 y21.解：设变换为xx0，yy，代入方程x29 y21，得2x29 y21.与 x2y21 比较，得 3.x3x，yy，即将圆 x2y21 上所有点的横坐标拉伸为原来的 3 倍，可得椭圆x29 y21.1求曲线方程的方法(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法(2)求动点轨迹方程常用的方法有：直
10、接法；定义法；代入法(相关点法)；参数法2根据曲线的方程画曲线时，关键是根据方程判定曲线是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部3利用坐标法解决平面几何问题应注意(1)建立适当的平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想(2)建立平面直角坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等4平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换：xx0，yy，或xx，ykyk0 中的系数均为正数在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换利用坐标伸缩变换公式可以求变换前或变换后的曲线方程已知变换前后曲线方程也可求伸缩变换点击进入WORD链接点击进入WORD链接谢谢观看！
