1、第8章 统计与概率8.5 一元线性回归案例学习目标重点难点1理解相关关系和函数关系的区别和联系，会求相关系数，并能判断其相关程度2会用最小二乘法求线性回归方程3在实际问题中，能借助线性回归方程进行预测或估值等4会进行可线性化的回归分析，拟合函数，并根据拟合程度调整函数关系.1重点是利用散点图或相关系数分析两个变量是否存在相关关系，会求回归方程2难点是进行可线性化的回归分析，拟合函数，解决实际问题.一、阅读教材：P88P91 的有关内容，完成下列问题1相关系数(1)定义：样本容量是 n 的成对观测数据，用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)表示用xi表示数据 x1，x2，xn，用yi表
2、示数据 y1，y2，yn，用 x 与 y 分别表示xi和yi的均值用sx 表示xi的标准差，用 sy 表示yi的标准差再引入：sxyx1y1x2y2xnynn x y.当sxsy0时，称rxy_为xi和yi的相关系数当rxy0，我们称xi和yi_；当rxy0.8时，认为有很强的相关关系二、阅读教材：P92P94 的有关内容，完成下列问题2一元线性回归(1)回归直线方程：l：ybxa，其中 b_，a_.(2)一元线性回归模型：若样本容量为 n 的成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中 yi 和 xi 满足关系：yi_，i1,2，n，其中_表示随机误差，则称该模型为一元线性回
3、归模型sxys2xy b xbxiaei e1，e2，en 2回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值是否一定为真实值？提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、运动等三、阅读教材：P94P95的有关内容，完成下列问题3可线性化的回归分析通 过 变 换 先 将 非 线 性 函 数 转 化 成 线 性 函 数，利 用_得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程最小二乘法试将yaebx转化为线性函数解：先对yaebx两边取对数得ln yln abx.记uln y，cln a
4、，则ucbx即为所求的线性函数相关性检验在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：X/s5101520304050607090 120Y/m 610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断 X 与 Y 的相关性解：作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度Y(m)与腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系相关系数 rxy sxysxsy，其中sxyx1y1x2y2x11y1111 xy 362.562，sx34.515 8，sy10.697 1.rxy362.56234.515 810.697 10.98.显然|rx
5、y|0.8，所以腐蚀深度 Y 与腐蚀时间 X 之间有很强的线性相关关系【点评】判断两个变量X和Y线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性如果|rxy|0.8，那么有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性编号12345678910 x63674588817152995876y65785282928973985675解：入学成绩(x)与
6、高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图如图所示，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系因为 x 70，y 76，sxy189.4，sx15.729，sy14.339，由 rxy sxysxsy，得 rxy0.839 70.8，所以 x 与 y 有较强的线性关系线性回归方程及其应用某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa.解：(1)如图(2)i14xiyi6283105126158，x 68101249，y 2
7、35644，i14x2i6282102122344，sxyi14xiyi4 xy 1584 94144，s2xi1nx2i4 x 23444 92204.bsxys2x 14200.7，a y b x40.792.3.故线性回归方程为y0.7x2.3.互动探究 试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力解：由本例中线性回归方程知，当 x9 时，y0.792.34，预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4.【点评】(1)求线性回归方程的基本步骤：画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算：x，y，i1nx2i，i1ny2i，i1nxiyi.代入公式求出ybxa 中参数 b
8、，a 的值写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义2从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得i110 xi80，i110yi20，i110 xiyi184，i110 x2i720.(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程ybxa；(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄解：(1)由题意知 n10，x 1ni1nxi80108，y
9、1ni1nyi20102.sxyi110 xiyi10 xy 18410 822410，s2xi110 x2i10 x 272010 828010.bsxys2x 24800.3，a y b x20.380.4.故所求回归方程为y0.3x0.4.(2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b0.30)，故 x与 y 之间是正相关(3)将 x7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元)某种书每册的成本y(元)与印刷数量x(千册)有关，经统计得到如下数据：可线性化的回归分析x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621
10、.411.301.211.15检验每册书的成本 y 与印刷数量的倒数1x之间是否具有线性相关关系如有，求出 y 对 x 的回归方程解：首先设变量 u1x，题设所给数据转化成下表所示的数据.u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15【点评】本题利用所给数据，利用变量代换，将非线性问题转化为线性问题来处理，这是解决此类问题的常用策略经计算得 ruy0.999 80.8，从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系由公式得 b8.973，a1.125，所以 y 对 u 的回归直线为y8
11、.973u1.125.最后回代 u1x，得 y8.973x1.125.3在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立 y 与 x 之间的回归方程解：由数值表可作散点图如下：根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系设 ykx.令 t1x，则 ykt，原数据变为t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下：itiyitiyit2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694
12、.2521.312 5430所以 t 1.55，y 7.2.bstys2t i15tiyi5 tyi15t2i5 t 24.134 4.a yb t0.8.所以y0.84.134 4t.所以 y 对 x 的回归方程是y0.84.134 4x.1回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法2回归直线yabx 过点(x，y)，其中 x 1ni1nxi，y 1ni1nyi.3相关系数的绝对值越接近于 1，相关性越强；相关系数越接近于 0，相关性越弱4对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决5建立回归模型的步骤：(1)确定研究对象，明确变量关系；(2)画出散点图，观察变量之间的关系；(3)由经验确定回归方程的类型；(4)按一定规则估计回归方程中的参数点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二十)谢谢观看！
