1、第2课时余弦定理、正弦定理的综合应用一、单选题1瑞云塔是福清著名的历史文化古迹如图，一研究小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B(与塔底D同一水平面)处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45，30，且A，B两点相距91 m，由点D看A，B的张角为150，则瑞云塔的高度CD()A91 m B13 mC13 m D91 m【解析】选C.设CDh，因为在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45，30，所以BDh，ADh，因为AB2BD2AD22BDAD cos 150，所以9127h2，即h13(负值舍去).2如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西1
2、5、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里【解析】选A.在ACD中，ADC1590105，ACD30，所以CAD45，由正弦定理可得：，解得AD20，在RtDCB中，BDC45，所以BDCD40，在ABD中，ADB451560，由余弦定理可得：AB2AD2BD22ADBD cos ADB8003 200220402 400，解得AB20海里3如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于
3、()A.240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m【解析】选C.如图所示，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m).在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)，所以BCCDBD6060(2)120(1)(m).4台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 h C1.5 h D2 h【解析】选B.设A地东北方向上点P到B的距离为30 km，APx km.在ABP中，PB2A
4、P2AB22APAB cos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240x7000.设该方程的两根为x1，x2，则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20 km，即P1P220 km，故t1(h).二、填空题5甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别为_米、_米【解析】如图，过点C作CMAB，垂足为依题意有甲楼的高度为AB20tan 6020(米)，又CMDB20米，CAM60，所以AMCM米，故乙楼的高度为CD20(米).答案：206如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC60
5、 m，井架顶B的仰角45，井架底的仰角15，则井架的高BC为_m.【解析】由题意得BAC451530，ABC45，且AC60 m.在ABC中，由正弦定理得，即，解得BC30.答案：307如图，一栋建筑物AB高(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B，M，D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_m.【解析】由题意可知CAM45，AMC105，由三角形内角和定理可知ACM30.在RtABM中，sin AMBAM.在ACM中，由正弦定理可知：，所以CM.在RtDCM中，sin CMD，所以C
6、DCMsin 60sin 6060.答案：608如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为h40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为60，30，若山坡高为a32，则灯塔的高度是_【解析】如图，BNDC于N，DC延长线交地面于M，则DNBN tan ，DMAM tan ，而BNAM，所以BN tan BN tan h，即BN(tan 60tan 30)40，BN20，所以DCDMCMBN tan 6032203228.答案：28三、解答题9为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西千米有一条北偏东60方
7、向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？【解析】如图所示，考点为A，检查开始处为B.设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离均为1千米在ABC中，AB千米，AC1千米，ABC30，由正弦定理得sin ACBAB，所以ACB120(ACB60不合题意)，所以BAC30，所以BCAC1千米在ACD中，ACAD1千米，ACD60，所以ACD为等边三角形，所以CD1千米因为605，所以在BC上需5分钟，CD上需5分钟所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持
8、续至少5分钟才算合格10根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下(联合军演除外)，在公海上的安全距离为20 n mile(即距离不得小于20 n mile)，否则违反了国际海洋安全规定如图，在某公海区域有两条相交成60的直航线XX，YY，交点是O，现有两国的军舰甲、乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA30 n mile，OB10 n mile，后来军舰甲沿XX的方向，乙军舰沿YY的方向，同时以40 n mile/h的速度航行(1)起初两军舰的距离为多少？(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由【解析】(1)连接AB，在ABO中，由余弦定理得AB10.所以起初两军舰的距离
9、为10 n mile.(2)设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C，D，连接CD，当0时，CD10，所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离CD10(t0)，因为CD1010，因为t0，所以当t时，甲、乙两军舰距离最小为20 n mile.所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定一、选择题1小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据BC12 m，B处的仰角为60，C处的仰角为45，cos BAC，BOC30中选取合适的，计算出旗杆的高度为()A10 m B12 mC12 m D12 m【解析】选D.设旗杆的高度OAh.选，则OCh，OB，在BOC中，由余弦定理得BC
10、2OB2OC22OBOCcos BOC，即122h222h，解得h12；选，则ABh，ACh，在BAC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos BAC，即122222h，解得h12.2春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为()A.30米 B50米 C60米 D70米【
11、解析】选B.由题意，作出示意图如图所示，由已知，BC50，CAE45，BAE37，CBF53.设BDx，则ADx，CFBC sin 5350cos 375040，BFBC cos 5350sin 375030，所以由AECE，得x30x40，解得x30，又A点所在等高线值为20米，故B点所在等高线值为203050米3如图，跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是，又测得ADB.已知h50，45，60，30，则AB的长为()A. BC D【解析】选B.根据已知，CDh，因为在ACD中，CAD45，所以ADCDh，在BCD中，CBD60，所以tan 60，所以BDh，所以在BDA中
12、，由余弦定理得，AB2AD2BD22ADBDcos ADBh2h22hhcos ，故AB2h2，故AB的长为h.4(多选)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc456，则下列结论正确的是()Asin Asin Bsin C456BABC是钝角三角形CABC为直角三角形D若c6，则ABC外接圆半径为【解析】选AD.由abc456，可设a4m，b5m，c6m(m0)，根据正弦定理可知sin Asin Bsin C456，故A正确；因为cos C0，故最大角C为锐角，故BC错误；若c6，可得2R，所以ABC外接圆半径为，故D正确二、填空题5九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，今
13、年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75角，折断部分与地面成45角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是_米(结果保留根号).【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则AOB75，ABO45，所以OAB60.由正弦定理知，所以OA(米)，AB(米)，所以OAAB55(米).答案：6已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若cos cos ，则v_【解析】画出图象如图
14、所示，由余弦定理得2200215022200150cos ，由正弦定理得，sin sin .由sin 2cos 21，解得sin ，故cos ，sin ，cos ，故cos 0，代入解得v100.答案：1007在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离为_【解析】方法一：因为ADCADBCDB60，又DCA60，所以DAC60.所以ADCDACa.在BCD中，DBC45，因为，所以BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC
15、BCcos 45a2a22aaa2，所以ABa.所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.方法二：由题意可得ADC为正三角形，且BD垂直平分AC，所以ACCDa，ABBCACa.答案：a8我国古代数学家刘徽在其海岛算经中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年其大意为：测量望海岛PQ的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高的标杆AB，CD(PQ，AB，CD共面，均垂直
16、于地面)，使目测点E与P，B共线，目测点F与P，D共线，测出AE，CF，AC即可求出岛高和距离(如图).若ABCDr，AEa，CFb，EFd，则PQ_；EQ_【解析】设AEB，CFD，则tan ，tan ，在PEF中，所以PE，所以PQPEsin ，EQPEcos .答案：三、解答题9如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tan PBA.【解析】(1)由已知得，PBC60，所以PBA30，在ABP中，由余弦定理得PA232cos 30，所以PA(负值舍去).(2)设PBA，所以PCB，PBsin .在PBA中，由
17、正弦定理得，化简得cos 4sin ，所以tan ，即tan PBA.10如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把ABC所在区域改造成绿化区域，已知BAC，AB2 km.(1)若绿化区域ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度；(2)绿化区域ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC每千米修建费用都是ACB的函数，其中绿化区域ABC改造费用为y110sin ACB(单位：万元/平方千米)，新建道路BC新建费用为y25sin 2ACB(单位：万元/千米)，设ABC，某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建，已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，则工程
18、队所获利润也越高，试问当为何值时，该工程队获得最高利润？【解析】(1)因为绿化区域ABC的面积为1 km2，所以ACABsin BAC1.因为AB2，BAC，所以AC2sin 1，得AC2，由余弦定理得BC2AB2AC22ABAC cos BAC4422284，所以BC，即BC的长度为km.(2)设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元因为ABC，BAC，所以ACB，由正弦定理得，BC，AC，则由题意可得yy1ABACsin BACy2BC10sin 25sin 210sin 10cos 10sin 1015sin 5cos 10sin ，因为0，所以，所以10sin 10，当且仅当，即时取等号，所以当时，该工程队获得最高利润
