1、第11课时导数与函数的单调性、极值1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)对应学生用书P37【梳理自测】一、函数的导数与单调性1(教材改编)函数f(x)1xsin x在(0，2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在 (，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增2函数f(x)x22lnx的单调减区间是()A(0，1)B(1，)C(，1) D(1，1)3(教材改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_4
2、函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案：1.A2.A3.(1，11)4.3，)以上题目主要考查了以下内容：在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)为增函数；f(x)0f(x)在(a，b)为减函数二、函数的导数与极值1若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2 B3C4 D52(教材改编)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值答案：1.D2.2以上题目主要考查了以下内容：(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)
3、0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点【指点迷津】1一个方程求函数yf(x)的极值点，先解方程f(x)0的根2两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3
4、三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间对应学生用书P38考向一利用导数研究函数的单调性(2014湖北省八校联考)已知函数f(x)(xa)27bln x1，其中a，b是常数且a0.(1)若b1时，f(x)在区间(1，)上单调递增，求a的取值范围；(2)当ba2时，讨论f(x)的单调性【审题视点】(1)当x1时， f(x)0恒成立，求a的范围(2)讨论a0和a0时，f(x)的单调
5、性【典例精讲】(1)b1，f(x)(xa)27ln x1，f(x)2x2a.当x1时，f(x)是增函数，f(x)2x2a0在x1时恒成立即ax在x1时恒成立当x1时，yx是减函数，当x1时，yx，a.(2)ba2，f(x)(xa)24a2ln x1，x(0，)f(x).当a0时，f(x)0，得xa或x2a，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，)；当a0时，f(x)0，得x2a或xa，故f(x)的减区间为(0，2a)，增区间为(2a，)【类题通法】(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，
6、应用条件f(x)0(或f(x)0，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围1(2014山东名校联考)已知函数f(x)2x2ln x，其中a为常数且a0.(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1，2上为单调函数，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)3x2x2ln x，其定义域为(0，)，则f(x)4x3(x0)，当x(0，1)时，f(x)0，故函数f(x)在区间(0，1)上单调递增；当x(1，)时，f(x)0，故函数f(x)在区间(1，)上单调递减所以f(x)的单调递增区间为(0
7、，1)，单调递减区间为(1，)(2)由题易得f(x)4x(x0)，因为函数f(x)在区间1，2上为单调函数，所以在区间1，2上，f(x)0或f(x)0恒成立，即4x0或4x0在x1，2时恒成立，即4x或4x(1x2)，即(4x)max或(4x)min，其中1x2.令h(x)4x(1x2)，易知函数h(x)在1，2上单调递增，故h(1)h(x)h(2)所以h(2)或h(1)，即42，413，解得a0或0a或a1.故a的取值范围为(，0)(0，)1，)考向二利用导数求函数的极值(2012高考江苏卷)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和
8、1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点【审题视点】1和1为f(x)的极值点，则有f(1)0，f(1)0求a和b，再根据极值的概念求g(x)的极值点【典例精讲】(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0.解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g
9、(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.【类题通法】利用导数研究函数的极值的一般流程：2(2014广东省惠州市高三调研)已知函数f(x)x33ax(aR)(1)当a1时，求f(x)的极小值；(2)若对任意的mR，直线xym0都不是曲线yf(x)的切线，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1，当x(1，1)时，f(x)0，当x(，1)(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，1)上单调递减，在(，1，1，)上单调递增，f(x)的极小值是f(1)2.(2)f(x)3x23a，直线xym0即yxm，依题意，切线斜率kf(x)3x23a1，即3x23a10无解，
10、043(3a1)0，a. 对应学生用书P39 用导数研究函数单调性和极值(2014烟台四校达标检测)已知函数f(x)ln xx，其中常数m0.(1)当m2时，求函数f(x)的极大值；(2)讨论函数f(x)在区间(0，1)上的单调性【审题视点】讨论f(x)0的根与区间(0，1)的关系【思维流程】求定义域，并求导函数f(x)确定极值点确定极大值求导函数f(x)0的根分三种情况讨论m与区间(0，1)的关系，从而确定f(x)的正负确定单调性【规范解答】(1)当m2时，f(x)ln xx，f(x)1(x0).2分当0x或x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.函数f(x)在区间和区间(2，)上单调递减
11、，在区间上单调递增，4分函数f(x)的极大值为f(2)ln 2.6分(2)由题意知，f(x)1(x0，m0).8分当0m1时，1，故当x(0，m)时，f(x)0，当x(m，1)时，f(x)0，此时函数f(x)在区间(0，m)上单调递减，在区间(m，1)上单调递增.10分当m1时，1，故当x(0，1)时，f(x)0恒成立，此时函数f(x)在区间(0，1)上单调递减.11分当m1时，01，故当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，此时函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.12分【规范建议】在第一步中，不能忽视定义域(x0)否则单调区间求错在第五步讨论中，不可丢掉m1的情况1(2013高考
12、福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析：选D.本题考查的是函数的极值函数的极值不是最值，A错误；因为f(x)和f(x)关于原点对称，故x0是f(x)的极小值点，D正确2函数f(x)(1cos x)sin x在，的图象大致为()答案：D3(2012高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：选C.当x2时，yxf(x)0，当x2时，y0，当0x2
13、时，yxf(x)0，当x0时，y0，当x0时，y0，选C.4(2013高考全国大纲卷)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解析：(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0，得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.
