1、第 19 讲 三角恒等变换【学习目标】1能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换；2掌握常用的变换的思路：变换角，变换函数名与次幂，变换解析式结构【基础检测】1设 sin4 13，则 sin 2()A79B19C.19 D.79【解析】sin4 22(sin cos)13，sin cos 23，又(sin cos)212sin cos 1sin 229，sin 279.A2已知 tan 2，则 sin2 sin cos ()A43 B.56C34 D.65【解 析】sin2 sin cos sin2sin cos 1sin2sin cos sin2cos2tan2ta
2、n tan2165.故选 D.D3.sin 47sin 17cos 30cos 17()A 32 B12C.12D.32【解析】利用两角和的正弦公式化简 原式sin（3017）sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 17sin 3012.C4函数 f(x)sin xcosx6 的值域为【解析】由 f(x)sin xcos x 32 sin x1212sin x 32 cos xsin xcos 60cos xsin 60sin(x60)1，1 f(x)的值域为1，11，1【知识要
3、点】三角变换的基本题型化简、求值和证明(1)化简三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：弦切互化、异角化同角；异名化同名；异次化同次；降幂或升幂(2)求值常见的有给角求值，给值求值，给值求角给角求值的关键是正确地分析角(已知角和未知角)之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值给值求角的关键是求出该角的
4、某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角(3)证明它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明无条件恒等式的证明，证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一，对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中寻找条件等式向待证等式转化的途径一、三角函数求值例1(1)计算：tan 12 3（4cos2122）sin 12_(2)已知 cos 6 sin 4 35，则 sin 76 的值是445【解析】(1)
5、原式sin 12 3cos 122sin 12cos 12（2cos2121）212sin 12 32 cos 122sin 12cos 12cos 242sin（1260）12sin 484.(2)cos6 sin cos cos 6 sin sin 6 sin 32 sin 32 cos 332 sin 12cos 3 sin6 4 35，sin6 45，sin76sin6 sin6 45.【点评】(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan tan tan()(1tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等(2)注意拆角、凑角的技巧：如
6、常用的 2()()，2()()()，()，22 2 ，22，42(2)，3232，3 26 等二、三角函数化简例2化简：sin2 sin2 cos2 cos2 12cos 2 cos 2.【解析】解法一：(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212 sin2cos21211212.解法二 (从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos
7、 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2cos2sin2cos 212cos 2cos 2cos2cos 2sin212cos 2 1cos 22cos 2sin212（12sin2）1cos 2212cos 212.解法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 2 14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 212.解法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 2
8、21cos 2212cos 2cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 212.解法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos)22sin sin cos cos 12cos 2cos 2 cos2()12sin 2sin 212cos 2cos 2 cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.【点评】三角函数化简一般先看角的变换，再看三角函数名的变换，然后是幂及解析式结构的变换，并要注意它们的综合应用三、三角恒等式的证明例3已知：，都是锐角
9、，且 3sin2 2sin2 1，3sin 2 2sin 2 0，求证：22.【解析】法一：由已知可得 3sin2cos 2，3sin 22sin 2，两式相除，得 tan cos 2sin 2sin2 2cos2 2tan2 2.，为锐角，02，02，20，2 2 22，2 2，即 22.法二：由已知可得 3sin2cos 2，3sin 22sin 2，sin(2)sin cos 2cos sin 2 sin 3sin2cos 32sin 2 3sin(sin2cos2)3sin，又由得 3sin cos sin 2，22 得 9sin49sin2cos21，sin 13，即 sin(2)1
10、，又 0232，可知 22.法三：由已知可得 3sin2cos 2，3sin 22sin 2，cos(2)cos cos 2sin sin 2 cos 3sin2sin 32sin 2 3sin2cos sin 3sin cos 0，又由 0232可知 22.【点评】要证明两个角相等(或证明两个角的和、差等于某个特殊角)，可先证明两个角的三角函数值相等，再根据在某个区间内角的唯一性证得左、右两边的角相等备选题例4已知 02，02，且 3sin sin(2)，4tan21tan22，求 的值【分析】由2 的关系式可求出 的正切值，再据已知 与 2 构造出，从而可求出 的一个三角函数值，再据、的范
11、围求 的范围从而确定角.【解析】4tan2 1tan22，且 1tan22 0.tan 2tan 21tan2212.又3sin sin(2)，3sin()sin()，即 3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin，2sin()cos 4cos()sin，又cos()sin 0，2sin（）cos cos（）sin 4，即tan（）tan 2.tan()2tan 1 又02，02，00，sin 0，计算可得 cos 2 55，sin 55，sin 22sin cos 45，cos 212sin235，因此 sin24 sin 2cos 4 cos 2sin 4
12、7 210.7 2104已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则【解析】、均为锐角，2，2，又 sin()1010 0，则 2，0，cos()1sin2（）3 1010，cos 2 55，cos cos()cos cos()sin sin()2 55 3 1010 55 1010 22，4.45设 f(x)3sin 3xcos 3x，若对任意实数 x 都有|f(x)|a，则实数 a 的取值范围是【解析】f(x)3sin 3xcos 3x2sin3x6，|f(x)|2，a2.a26已知 f(x)sin2x4，若 af(lg 5)，bflg 15，则 ab_【解析】本题可采用降幂处理
13、af(lg 5)sin2lg 54 1cos2lg 522 1sin（2lg 5）2，bflg 15 sin2lg 154 1cos2lg 15221sin（2lg 5）2，则可得 ab1.17已知 tan 17，tan 13，并且，均为锐角，求 2 的值【解析】tan 171，tan 131，且，均为锐角，04，04，020，xR)，且以 为最小正周期(1)求 f2 的值；(2)已 知f2 6 1013，2，求sin 4 的值【解析】(1)T2，2，f(x)2sin2x3，f2 2sin22 3 2sin3 2sin3 3.(2)f2 6 2sin 1013，sin 513，cos 1213
14、，sin4 sin cos 4 cos sin 4 17 226.9已知 sin(2)3sin ，设 tan x，tan y.记 yf(x)(1)求证：tan()2tan ；(2)求 f(x)的解析式；(3)若角 是三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域【解析】(1)证明：由 sin(2)3sin，得 sin()3sin()，即 sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin，sin()cos 2cos()sin.tan()2tan.(2)由(1)得：tan tan 1tan tan 2tan，即 xy1xy2x，yx12x2，即 f(x)x12x2.(3)为三角形的最小内角，03，0 x 3，记 g(x)2x1x，则 g(x)2x1x2 2，当且仅当 x 22 时取“”，函数 f(x)的值域为0，24.
