1、23.2抛物线的简单几何性质1.通过图形理解抛物线的范围、对称性、顶点等简单性质2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题四种标准形式的抛物线几何性质的比较类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点(，0)(，0)(0，)(0，)准线xxyy范围x0x0y0y0对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率1开口方向向右向左向上向下1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其
2、离心率都相同()答案：(1)(2)(3)2四种标准方程对应的抛物线有相同的()A顶点B焦点C准线 D对称轴答案：A3顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23y By26xCx212y Dx26y答案：C4抛物线y2px2(p0)的对称轴为_答案：y轴抛物线性质的应用已知抛物线y22px(p0)的顶点为O，点A、B在抛物线上，且0，|5，直线OA的方程为y2x，求抛物线的方程【解】如图所示，由0，得OAOB，直线OA的方程为y2x，则直线OB的方程为yx，由，消去x并整理得y2py0，解得y0或yp.所以点A的坐标为(，p)，同理可得点B的坐标为(8p
3、，4p)因为|AB|5，所以 5.两边平方并整理，得p24，因为p0，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.本题首先根据两条直线互相垂直的位置关系，求出了抛物线的内接直角三角形两条直角边所在的直线的方程，然后分别与抛物线的方程联立方程组，进一步求出点A、B的坐标，最后由斜边长建立关于参数p的方程而求解 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F，直线l：x，所以A、B两点坐标为、，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.
4、所以抛物线方程为y24x.抛物线的焦点弦问题已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值【解】因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.1若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值解：直线l的方程为x，联立解得或所以|AB|3(3)6.2若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|9”，求线段AB的中点M到准线的距离解：设A(x1，
5、y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以点M到准线的距离为3.抛物线焦点弦问题的解法(1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1x2p，同时由弦长x1x2p2p2p知，通径是所有弦中最短的弦已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛
6、物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程解：如图所示，抛物线y22px(p0)的准线为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp，所以x1x2p.当x1x2时，|AB|2p0，即k20，且16(1k2)0，解得k(1，0)(0，1)所以当k(1，0)(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点若直线与抛物线有一个交点，则k20或k20时，0.解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l与抛物线C有一个交点若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k0)，将直线方程与抛物线方
7、程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)过焦点F的一条弦，设A(1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)|AB|2(x0)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|x1x2p；(4)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；如当90时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2
8、.1顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()Ax216yBx28yCx28y Dx216y解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0)由顶点到准线的距离为4知p8，故所求抛物线方程为x216y，x216y.2已知直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点A、B，若线段AB中点的纵坐标为2，则k等于()A1 B2或1C2 D.解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，所以k2.3过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条解析：选B.当直线
9、垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线4过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值解：由抛物线y28x知，p4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以x1x2|AB|p.由条件知3，则x1x26，所以|AB|p6，又因为p4，所以|AB|10. A基础达标1与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30B2xy30C2xy10 D2xy10解析：选D.设切线方程
10、为2xym0，与yx2联立得x22xm0，44m0，m1，即切线方程为2xy10.2已知抛物线y22px(p0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析：选C.由抛物线定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|2|FP2|，故选C.3抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于()A. B2C. D15解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2
11、)由得4x28x10，所以x1x22，x1x2，所以|AB|.4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2，2C1，1 D4，4解析：选C.由题意知点Q的坐标为(2，0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故直线l的斜率存在，且设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)，与抛物线方程y28x联立，得k2x24(k22)x4k20，当k0时，显然符合题意；当k0时，需0，即16(k22)24k24k20，解得1k0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(
12、)Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B.因为抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.6抛物线y24x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是_解析：设P(x0，y0)，则|PF|x015，所以x04，所以y16，所以y04.答案：(4，4)7抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|FB|_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x22.又x25x40，所
13、以x1x25，x1x227.答案：78边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是_解析：焦点在x轴正半轴上时，设方程为y22px(p0)，代入点(，)得p，所以所求方程为yx；焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，所以p，所求方程为yx.综上，所求方程为y2x.答案：y2x9抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236的短轴所在直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程解：椭圆9x24y236可化为1，得抛物线的对称轴为x轴设抛物线的方程为y2ax(a0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|3，所以|a|12，即a12.
14、故所求抛物线方程为y212x或y212x.10已知抛物线y28x，且在抛物线上的弦AB被点Q(4，1)平分，求AB所在的直线方程解：若弦ABOx，则其中点是(4，0)，不是Q(4，1)，所以可设弦AB所在的直线方程：y1k(x4)列方程组消去x并化简，得ky28y32k80.设弦AB端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2.又Q(4，1)为弦AB的中点，所以1，即y1y22，所以2，所以k4.所以所求直线方程是y4x15.B能力提升11以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：
15、选B.由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选B.12在直角坐标系xOy中任给一条直线，它与抛物线y22x交于A、B两点，则的取值范围为_解析：设直线方程为xtyb，代入抛物线y22x，得y22ty2b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y22b.所以x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2b22b(b1)21，所以的取值范围为1，)答案：1，)13已知M(3，y0)(y00)为抛物线C：y22px(p0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|5.(1)求抛物线
16、C的方程；(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标解：(1)因为|MF|35，所以p4，所以抛物线方程为y28x.(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为yk(x2)，联立得k2x2(4k28)x4k20，由根与系数的关系得xMxN4，因为xM3，所以xN.因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图象可知yN0，b0)，则由解得，所以所求双曲线的标准方程为y21.7P为抛物线y22px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有()A|PP1|AA1|BB1|B|PP1|AB|C|PP1|AB|D|PP1|0)的渐近线方
17、程为3x2y0，则a的值为_解析：双曲线1的渐近线方程为yx，即3xay0，故a2.答案：212已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_解析：如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，因为AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，所以3.所以|AF|AM|3|OF|3.设A，所以13，所以2，解得y02.所以点A的坐标是(2，2)答案：(2，2)13抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为_解析：将yax2化为x2y，由于准线方程为y2，所
18、以抛物线开口向下，0，且2，所以a.答案：14双曲线1(m0，n0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24mx的焦点重合，则n的值为_解析：由题意知，抛物线的焦点(m，0)为双曲线的一个焦点，所以mnm2.又因双曲线的离心率为2，所以4，所以n3m，所以4mm2.可得m4，n12.答案：12三、解答题15斜率为k的直线l经过抛物线yx2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的长为8.(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；(2)求直线的斜率k.解：(1)化yx2为标准方程x24y，由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0，1)，准线方程为y1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
19、由抛物线的定义知|AF|y11，|BF|y21，于是|AB|y1y22，又|AB|8，所以y1y26，由第一问得抛物线的焦点为(0，1)，所以直线l的方程为ykx1，所以kx11kx216，k(x1x2)4，由直线l的方程与抛物线方程得kx1，即x24kx40，所以x1x24k，代入k(x1x2)4，得k21，k1.16设双曲线C：1(a0，b0)的离心率为e，若直线l：x与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，FPQ为等边三角形(1)求双曲线C的离心率e的值；(2)若双曲线C被直线yaxb截得的弦长为，求双曲线C的方程解：(1)因为直线l的方程为x，双曲线C两条渐近线方程为yx.所以两交点
20、坐标为P，Q.因为PFQ为等边三角形，所以|MF|PQ|(如图所示)所以c，即，解得ba，c2a.所以e2.(2)由第一问得双曲线C的方程为1.把yaxa代入得(a23)x22a2x6a20.依题意所以a26，且a23.设直线yaxb与双曲线的两个交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以双曲线C被直线yaxb截得的弦长为d .因为d12a，所以144a2(1a2).整理得13a477a21020.所以a22或a2.所以双曲线C的方程为1或1.17在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接
21、ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点18已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解】(1)由题意得直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以p4，所以抛物线方程为y28x.(2)由p4，4x25pxp20化简得x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(14，24)又因为y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.综上：0或2.