1、第10讲 对数与对数函数【学习目标】1理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用3掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质4了解指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0 且 a1)的关系【基础检测】1已知 lg alg b0，则函数 f(x)ax 与函数 g(x)logbx 的图象可能是()【解析】lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是(0，)，故排除 A.若 a1，则 0b0 时，由 f(x0)2log2(x02)2x024x02.故填(，12，)(，12，)4计算：lg 5lg
2、8 000lg 23 2_【解析】原式lg 5(33lg 2)3(lg 2)23lg 53lg 2(lg 5lg 2)3.3【知识要点】1对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底N 的对数，记作_，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数2几种常见的对数对数形式特 点记法一般对数底数为 a(a0 且 a1)logaN常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln NxlogaN(a0且a1)3.对数的性质(a0，且 a1，N0)_；logaaN_；换底公式：_；logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad.4对数的运算法则如果 a0 且
3、 a1，M0，N0，那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_；logamMn_logaNlogbNlogba(b0，且 b1)NNlogaMlogaN logaMlogaNnlogaM nmlogaMaNalog5对数函数的概念、图象和性质定义形如 ylogax(a0，且 a1)的函数叫对数函数图象(1)定义域：_(2)值域：_(3)过点_，即 x1 时，y0(4)在(0，)上是_ 在(0，)上是_性质(5)x1 时，_0 x1 时，_0 x0 y0y0 yx(1，0)一、对数运算例1求下列各式的值：(1)log5 352log122log5150log5 14；(2)(a，b
4、是不为 1 的正数，c0)；(3)(log2125 log425 log85)(log1258 log254 log52)abbcaloglog【点评】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同【解析】(1)原式log53550142log12212log55312.(2)logablogbclogbclogbalogac，c.(3)原式(3log25log2513log25)(log52log52log52)133 log253log5213.abbcaloglog【解析】a1log32，b1log52，c1log72，所以 a11
5、log23，b1 1log25，c1 1log27，ylog2x在区间(0，)上是增函数0log23log25 1log25 1log27，a1b1c10，故 abc1.故选 D.二、对数函数的图象与性质及应用例2(1)设 alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabcD【解析】解法一：构造函数 f(x)4x 和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即2 22，所以 a 的取值范围为22，1.(2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，22B.22，
6、1C(1，2)D(2，2)B解法二：0 x12，14x1，0a1，排除选项 C，D；取 a12，x12，则有 4122，log12121，显然 4x12xm 恒成立，求 m 的取值范围【解析】(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)即 log121axx1log121axx1，即 1axx1 x11ax，整理得 1a2x21x2，a21，故 a1 或 a1(舍)(2)证明：设 g(x)x1x1，由x1x10，得 x1 或 xx21，则 g(x1)g(x2)12x1112x212x112x212（x2x1）（x11）（x21），x1x21，x2x10，2（x2x1）（x11）（x21）0，即 g
7、(x1)g(x2)g(x)x1x1在(1，)上单调递减，f(x)log12x1x1在(1，)上单调递增【点评】本题是一道综合性较强的题目，主要考查函数思想、化归思想以及综合思维能力(3)依题意知：mf(x)12x在3，4上恒成立，由(2)知 f(x)在3，4上为增函数，又12x在3，4上也为增函数，yf(x)12x在3，4上单调递增，yminf(3)123log1213311898，mb11ab0图象底数大于 1 时，底数越大图象越靠近坐标轴底数小于 1 时，底数越小图象越靠近坐标轴无论底数是大于 1 还是小于 1，在 x1 时都是“底小图高”10【命题立意】本题主要考查指数式与对数式的计算，
8、属容易题1(2014 陕西)已知 4a2，lg xa，则 x_【解析】由 4a2，得 a12，代入 lg xa，得 lg x12，那么 x1012 10.【解析】因为 0a2131，blog213log12121，所以 cab.【命题立意】本题主要考查对数函数的单调性及应用，属容易题2(2014 辽宁)已知 a213，blog213，clog1213，则()AabcBacbCcabDcbaC3(2014 福建)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()B【命题立意】本题主要考查指数函数与对数函数的图象及对称性，属中档题【解析】由函数 yloga x 的图象
9、过点(3，1)，得 a3.选项 A 中的函数为 y13x，则其函数图象不正确；选项 B 中的函数为 yx3，则其函数图象正确；选项 C中的函数为 y(x)3，则其函数图象不正确；选项 D中的函数为 ylog3(x)，则其函数图象不正确【解析】2log510log50.25log5100log50.25log5252，故选 C.12log510log50.25()A0 B1 C2 D4C【解析】由题知x10，x10 得 x(1，1)(1，)，故选 C.2函数 ylg（x1）x1的定义域是()A(1，)B1，)C(1，1)(1，)D1，1)(1，)C【解析】a1 时，01a1，函数 yax1ax的
10、图象与 ylogax 的图象如图，再对照四个选项3当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax 与ylogax 的图象是()A4设 alog1312，blog1323，clog343，则 a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCbacDbc0），2x（x0），若 f(a)12，则 a 的值为_【解析】若 a0，有 log2a12，a 2，若 a0，有 2a12，a1，a 的值为1 或 2.【解析】当a1时，uax2x的对称轴为x 12a0，即 a13.又 logau 是增函数，a1.当 0a0a18，a14a.综上，a(1，)6若函数 f(x)loga(ax2x)(a0，a1)在区间3，4上
11、是增函数，则实数 a 的取值范围是_(1，)【解析】设 ux22ax3(xa)23a2.(1)因为 u0 对任意 xR 恒成立，所以 umin3a20，解得 3a0 对任意 x(，1恒成立 所以有a1，u（1）0，即a1，a1b0)的定义域为(0，)，是否存在实数 a，b 使得 f(x)恰在(1，)上的值为正实数，且 f(3)ln 4？若存在，求出 a，b 的值，若不存在，说明理由【解析】由于 f(x)的定义域为(0，)可得对任意x(0，)，都有 axkbx0，即 k1b0，得 k1.所以 f(x)ln(axbx)假设存在 a，b 满足题意，则 f(3)ln(a3b3)ln 4且 ln(axbx)0 对 x1 恒成立 由 f(x)在(1，)上单调递增，所以 f(x)f(1)而 f(x)0 恰好在(1，)上成立 所以 f(1)0 即 ln(ab)0，所以 ab1 又 a3b34，求得 a 512，b 512.
