1、第5课时 直角三角形的射影定理1射影的有关概念：(1)从一点向一直线所引_，叫做这个点在这条直线上的正射影；(2)一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的_；(3)点和线段的_简称为射影垂线的垂足正射影正射影2直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的_；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的_比例中项比例中项【答案】C1在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，ADBD23，则ACD 与CBD 的相似比为()A23 B49C 63 D不确定2下列命题正确的是()A所有的直角三角形都相似B所有的等腰三角形都相似C所有的等腰直角
2、三角形都相似D所有的有一个角为30的等腰三角形都相似【答案】C3如图所示，四边形ABCD是矩形，BEF90，这四个三角形能相似的是_【答案】4如图所示，已知CD是RtABC斜边上的高，则有：CD2AD_，AC2AD_，BC2BD_.【答案】DB AB AB【例1】如图所示，梯形ABCD中，ADBC，BAD90，BCD60，AD1，AB2.求：(1)线段AD在直线BC上的射影长；(2)线段DC在直线BC上的射影长；(3)线段BC在直线DC上的射影长【解题探究】本题可先通过作垂线找到射影，然后再求其长射影有关概念【解析】(1)过点D作DD1BC于点D1，则BD1就是AD在直线BC上的射影，如图所示
3、因为四边形ABD1D为矩形，所以BD1AD1.所以线段AD在直线BC上的射影长为1.(2)由(1)的作图知，D1C 就是线段 DC 在直线 BC 上的射影因为 DD1AB2，DCB60，所以在直角三角形 D1DC 中，D1C D1Dtan 60 232 33.所以线段 DC 在直线 BC 上的射影长为2 33.(3)过 B 作 BB1DC 于点 B1，则 B1C 就是 BC 在直线 DC上的射影因为 BCBD1D1C12 33，所以 B1CBCcos 6012 331212 33.所以线段 BC 在直线 DC 上的射影长为12 33.求线段在直线上的射影的长度，关键是先找到射影，找射影一般是通
4、过由线段的端点作直线的垂线得到1如图所示，ADBC，EFBC指出点A，B，C，D，E，F，G和线段AB，AC，AF，FG在直线BC上的射影【解析】由ADBC，EFBC知：点A在BC上的射影是点D；点B在BC上的射影是点B；点C在BC上的射影是点C；点E，F，G在BC上的射影都是点E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC的射影是DE；FG在BC上的射影是点E.【例2】如图所示，在ABC中，C90，CD是斜边AB上的高已知CD60，AD25，求BD，AB，AC，BC的长射影定理【解题探究】射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高本题满足以上两个条件，故可应用直角
5、三角形的射影定理求解【解析】因为ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以由射影定理，得CD2ADBD又CD60，AD25，所以60225BD，解得BD144.所以ABADBD25144169.又因为 AC2ADAB，所以 AC ADAB 2516965.又因为 BC2BDAB，所以 BC BDAB 144169156.直角三角形的射影定理有三个等式，本题在求线段的长度时，三个等式全用上了2如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CDAB于点 D，AD4，sinACD45，则 CD_，BC_.【答案】3 154【解析】在ADC 中，ADC90，AD4，sinACD45，所以ADAC45，
6、即 AC5.在 RtABC 中，由射影定理可知 AC2ADAB，则 AB524 254.由勾股定理，可得 CD52423，BC254252154.【例3】如图所示，在ABC中，ADBC 于 点 D，DEAB 于 点 E，DFAC 于 点 F.求 证：AEAB AFAC【解 题 探 究】可 在 ABD 与ADC中，应用直角三角形的射影定理证明或利用相似三角形证明射影定理的应用【解析】方法一：在RtABD中，ADB90，DEAB，由直角三角形的射影定理，得AD2AEAB在RtADC中，ADC90，DFAC，由直角三角形的射影定理，得AD2AFAC AEABAFAC方法二：ADBC，BADB90.又
7、DEAB，BADEDA90.BEDA又BADDAE，ADBAED(两角对应相等的两个三角形相似)ABADADAE，即 AD2AEAB同理可证 AD2AFAC，AEABAFAC 从以上两种证法不难看出，利用直角三角形的射影定理的方法一比应用相似三角形的方法二简单3(2016年泰安月考)如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在RtBCD斜边BC上的高，若BE6，CE2，求AD的长【解析】CDAB，CDB90.又 DEBC，在 RtBDC 中，由射影定理可知CD2CEBC16，则 CD4；BD2BEBC48，则 BD4 3.在 RtABC 中，ACB90，CDAB，由射影定理可得 CD2ADBD，ADCD2BD 164 34 33.1运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理；在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似联系，要注意它们的综合运用2应用射影定理证明问题时，由于定理有三个等式，因此要根据问题的需要进行选择3若题目条件中有直角三角形斜边上的高，往往会用到射影定理4应用射影定理可得到三角形的一些边长、比例式等点击进入WORD链接
