1、无锡市大桥实验学校 2020 2021 第一学期期中考试试卷高 一 数 学2020.11一.单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=Z，B=x|2 x 3”是“x 5”成立的是()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数 f(x)=1x+1+9x2 的定义域为()A.(3，1)(1，3)B.(3，1)(3，)C.3，3D.(1，34.已知函数 f(x)=ax+1x2+2 是定义在 R 的偶函数，则实数 a 的取值范围为()A.1B.0C.1D.25.点 P 在边长为 1
2、的正方形 ABCD 的边上运动，M 是 CD 的中点，则当 P 沿 A#B#C#M运动时，点 P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 的函数 y=f(x)的图象的形状大致是图中的()A.B.C.D.6.若函数 f(x)=xx+1，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)+f12+f13+f 150=()A.50B.49C.992D.10127.已知正数 m，n 满足 mn=m+8n，则 m+2n 的最小值是()A.18B.16C.8D.108.已知定义在(，0)(0，+)上的函数 y=f(x)满足 f(0)=1，且函数 y=f(x+1)的图象关点(1，0)中心对称，对于任意 x1，x2
3、 (0，+)，x1=x2，都有 x20191f(x1)x20192f(x2)x1 x2 0 成立，则不等式 f(x)1x2019的解集为()A.1，0)(0，1B.(，1(0，1C.(，11，+)D.(2019，0)(0，2019二.多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9.设集合 A=x|x2 7x+12=0，集合B=x|ax1=0，若AB=B，则实数 a 的值可以为()A.14B.0C.3D.1310.若“x M，|x|x”为真命题，“M，x 3”为假命题，则集
4、合 M 可以是()A.(3，+)B.(，5)C.0，3D.(3，1S 高一数学期中试卷第 1 页（共 4 页）11.下列命题中，是假命题的有()A.函数 f(x)=x+1x1 与函数 g(x)=x2 1 是同一个函数B.己知关于 x 的方程 x2+(a2 1)x+a=0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则实数 a 的取值范围是 a 0C.若函数 f(x)=mx+1x+3 在区间(3，+)上单调，则 m 13D.对任意 t 0 时，ff(t)1t=2 恒成立，函数 y=f(t)单调，则 f(t)=1+1t(t 0)12.设函数 y=f(x)的定义域为 R，若存在常数 m 0,使|f(x)|m
5、|x|对一切实数 x 均成立，则称 y=f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数，其中是“倍约束函数”的是()A.f(x)=0B.f(x)=x2C.f(x)=xx2+x+1D.函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 x1,x2 均有 f(x1)f(x2)2|x1 x2|三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分13.已知函数 f(x)=1x2+1，x 1f(x1)，x 1，则 f(3)的值为.14.若函数 y=f(x)对于任意实数 x 恒有 3f(x)2f(x)=5x+1,则函数 y=f(x)的解析式是.15.设 a、b、c 是三个正实数，且 a+b+2c
6、=bca，则653b+c 的最大值为.16.己知函数 f(x)=|xa|2x+a(a R),1 当 a=0 时，函数 y=f(x)的零点为 x=2 函数 g(x)=f(x)1 恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是.(注：第一个空 2 分，第二个空 3 分.)四.解答题：共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12 分）已知集合 A=x|2a1 x 019.（12 分）已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x)=x2 ax，其中 a R(1)求函数 y=f(x)的解析式；(2)若函数 y=f(x)在区间(0，+)不单调，求出
7、实数 a 的取值范围；(3)当 a=0 时，若 m (1，1)，不等式 f(m2 3m)+f(3m2 k)0 成立，求实数 k 的取值范围20.（12 分）习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”某乡镇响应了号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量 W(单位：千克)与肥料费用 10 x(单位：元)满足如下关系：W(x)=5(x2+1),0 x 250 xx+1,2 0，求证：f(x)在(1,1)上是减函数；(3)若 f12=1，f(x)t2 2at+1 对所有 x 12，12，a 1，1 恒成立，求实数 t 的取值范围S 高一数学期中试卷第 4 页（
8、共 4 页）参考答案一单项选择题：1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 二多项选择题：9 ABD 10 BD 11 ABC 12 ACD三填空题：13 1 14 x+1 15 5 162；(-,1-222)(1+222,2)四解答题：17解：(1)若选择当 a=-1 时，A=(-3,0)，又 B=0,1，A B=-3,1；若选择 a=0，A=(-1,1)，又 B=0,1，A B=-1,1；若选择 a=1，A=(1,2)，又 B=0,1，A B=0，2；4 分(2)由“x A”是“x RB”的充分不必要条件，得 A RB，且 A，由 A，A=x 2a-1 x a+1 2
9、a-1 a+1 a 2，2 分 由 A RB，x RB：x 1 a+1 0 或 2a-1 1 a-1 或 a 12 分 实数 a 的取值范围是 a-1 或 1 a 2 2 分18解：(1)函数 f(x)=ax2-(4a+1)x+4(a R)，不等式 f(x)b 化为 ax2-(4a+1)x+4-b 0，由该不等式的解集为 x|1 x 2，所以 a 0，即(ax-1)(x-4)0当 a=0 时，不等式为-x+4 0，解得 x 4；1 分当 a 0 时，不等式为(x-1a)(x-4)0，此时 1a 4，解得 1a x 0 时，不等式为(x-1a)(x-4)0，若 0 a 4，解得 x 1a；若 a
10、=14，则 1a=4，不等式为(x-4)2 0，解得 x 4；若 a 14，则 1a 4，解得 x 4；3 分综上知，当 a=0 时，不等式的解集为 x|x 4；当 a 0 时，不等式的解集为 x|1a x 4；参考答案 第 1 页（共 4 页）当 0 a 14 时，不等式的解集为 x|x 1a；当 a=14 时，不等式的解集为 x|x 4；当 a 14 时，不等式的解集为 x|x 42 分19 解：(1)由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)=0；又 x 0 时，f(x)=x2-ax，所以 x 0，所以 f(-x)=-f(-x)=-x2-ax所以 f(x)的解析式为 f(x)=
11、x2-ax,x 0-x2-ax,x 0，f(x)在(0,+)上先减再增 综上，a 0 2 分(3)当 a=0 时，f(x)=x2,x 0-x2,x 0 成立，可得 m2-3m k-3m2 k 4m2-3m=4(m-38)2-916 2 分 m -1,1，k 7 2 分20.解：(1)由已知 f x=6W x-20 x-10 x=6W x-30 x=30 x2+1-30 x,0 x 2,300 x1+x-30 x,2 x 5 答：f(x)的函数关系式为 f(x)=30 x2+1-30 x,0 x 2,300 x1+x-30 x,2 x 5，4 分(2)由(1)f(x)=30 x2+1-30 x,
12、0 x 2,300 x1+x-30 x,2 x 5=30 x-122+30-152,0 x 2,330-3001+x-30 1+x,2 x 5,当 0 x 2 时，f(x)在 0,12上单调递减，在12,2上单调递增，且 f 0 f 2=90 f xmax=f 2=90；3 分 当 2 x 5 时，f x=330-30 x+1+101+x，x+1+10 x+1 21+x101+x=210，（当且仅当101+x=1+x 时，即 x=10-1 2,5时等号成立）f xmax=300-6010，参考答案 第 2 页（共 4 页）因为 90 330-6010，所以当 x=10-1 时，f xmax=3
13、00-6010 4 分 答：当投入的肥料费用为 10(10-1)元时，种植该果树获得的最大利润是 300-6010元1 分21.解：(1)f(x)在区间 0，2上单调递减，1 分 证明如下：任取 0 x1 x2 2 f(x1)-f(x2)=x12x1-2-x22x2-2=x21(x2-2)-x22(x1-2)(x1-2)(x2-2)=x21x2-x22x1-2x21+2x22(x1-2)(x2-2)=x1x2(x1-x2)-2(x1-x2)(x1+x2)(x1-2)(x2-2)=(x1-x2)(x1x2-2x1-2x2)(x1-2)(x2-2)=(x1-x2)x1 x2-2-2x2(x1-2)
14、(x2-2)0 x1 x2 2 x1-2 0,x2-2 0,x1-x2 0 x1 x2-2-2x2 0 f(x)在区间 0，2上单调递减；3 分(2)由(1)f(x)在 x 0，1 上单调递减，值域为 -1，0，即 x 0，1，g(x)值域为 -1，0，又g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2开口向上，对称轴为 x=a，g(0)=0，若 a 1，g(x)在 x 0，1 上递减，g(x)的值域为 1-2a,0 1-2a=-1 a=1；若 0 a 1，g(x)在 x 0，a 上递减,a，1 上递增 g(x)min=g(a)=-a2=-1g(1)=1-2a 0 a=1；(舍)若 a 0，g(x)
15、在 x 0，1 上递增 g(x)的值域为 0,1-2a 不符，舍综上，a=1；3 分设 h(x)的值域为 A，由题意知，-1，0 A h(x)=-g(g(x)+3a=-g2(x)+2ag(x)+3a令 u=g(x)，由(2)a 1 时，g(x)的值域为 1-2a,0，u=g(x)1-2a,0(a 1)h(x)=m(u)=-u2+2au+3a=-(u-a)2+a2+3a，u 1-2a,0(a 1)m(u)开口向下，对称轴为 u=a 1，u 1-2a,0(a 1)m(u)在 u 1-2a,0(a 1)上单调递增，m(u)max=m(0)=3a，m(u)min=m(1-2a)=-8a2+9a-1即
16、h(x)的值域 A=-8a2+9a-1,3a，由 -1，0 A 3a 0-8a2+9a-1-1 a 98，又 a 1参考答案 第 3 页（共 4 页）a 的取值范围是 98，+)5 分22.(1)证明：令 x=y=0 得：f(0)=0设任意 x (-1,1)，则-x (-1,1)，f(x)+f(-x)=f(0)=0，即 f(-x)=-f(x)，函数 f(x)是奇函数；4 分设-1 x1 x2 1，则-x2(-1,1)，f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)=f(x1-x21-x1x2)，由-1 x1 x2 1 知：x1-x2 0，且|x1|1，|x2|1，所以|x1x2|0，x1-x
17、21-x1x2 0即 x1-x21-x1x2 (-1,0)，从而 f(x1-x21-x1x2)0，即 f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(-1,1)上是减函数；4 分(3)由(2)函数 f(x)在(-1,1)上是减函数，则当 x -12，12 时，函数 f(x)的最大值为 f(-12)=-f(12)=1，若 f(x)t2-2at+1 对所有 x -12，12，a -1，1 恒成立，则等价为 1 t2-2at+1 对 a -1，1 恒成立，即 t2-2at 0，设 g(a)=t2-2at=-2ta+t2，则对 a -1，1 恒成立，g(1)0g(-1)0，即 t2-2t 0t2+2t 0，即t 2 或 t 0t 0 或 t-2，解得 t 2 或 t=0 4 分参考答案 第 4 页（共 4 页）
