1、第六章 推理与证明 6.3 数学归纳法 学习目标重点难点1.能理解用数学归纳法证明问题的原理.2.会用数学归纳法证明与正整数有关的等式及数列问题.3.能用数学归纳法证明与n有关的不等式整除问题.4.注意总结用数学归纳法证明命题的步骤与技巧方法.1.重点：用数学归纳法证明问题的原理及用数学归纳法证明命题的步骤与技巧方法.2.难点：用数学归纳法证明命题的步骤与技巧方法.1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一种方法.2.数学归纳法证明步骤(1)基本步骤：验证：当n取第1个值n0(n0N)(如n01或2等)时，命题成立；在假设当_时命题成立的前提下，推出当_时，命题成立.根据可以
2、断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.正整数n nk(kN，kn0)nk1(2)数学归纳法能保证命题对_都成立.因为根据，验证了当_时命题成立；根据可知，当_时命题成立.由于当_时命题成立，再根据可知，当_时命题也成立，这样递推下去，就可以知道当_时命题成立，即命题对任意正整数n都成立.所有的正整数n1 n112 n2 n213 n4,5，温馨提示：数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.证明分两步：第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：(1)两个
3、步骤缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取nn0，n01等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明当nk1时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明当nk1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当nk1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法.归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法.如果只验证有限的特殊事例而得出一般性的结论，这种归纳法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论不一定是正
4、确的.如果验证一切可能的特殊事例而得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法.完全归纳法得出的结论是正确的.对于无穷多个事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是这种证明常用的方法.数学归纳法与归纳法数列an满足Sn2nan(nN).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.思路点拨(1)计算前四项 找规律 猜想通项(2)数学归纳法证明(1)解：当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a232.当n3时，a1a2a3S323a3，a374.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4
5、158.由此猜想an2n12n1(nN).(2)证明：当n1时，a11，结论成立.假设当nk(k1且kN)时，结论成立，即ak2k12k1.那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak.ak12ak222k12k122k112k.这表明nk1时，结论成立，由知an2n12n1(nN)成立.【点评】用数学归纳法证明，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是使我们要证明的命题成立的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要
6、稳”是我们正确运用数学归纳法要注意的第一个问题.(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设作为条件来导出“nk1”时命题成立，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.(3)正确寻求递推关系 在第一步验证时，不妨多计算几项，并正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的.探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置.在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项.除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚.1.设函数yf(x)，对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)
7、的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN)的表达式并用数学归纳法证明.解：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200，即f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114，f(3)f(21)f(2)f(1)2219，f(4)f(31)f(3)f(1)23116.(3)由(2)可猜想f(n)n2.用数学归纳法证明如下：当n1时，f(1)121显然成立.假设当nk(kN)时，命题成立，即f(k)k2，则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k1k212k(k1)2，即当nk1时命题也成立.由可知，对
8、一切nN都有f(n)n2成立.数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题，关键是第二步.不妨设命题为f(n)g(n)，第二步归纳递推相当于一个条件等式的证明题.已知：f(k)g(k)，求证：f(k1)g(k1).证明过程通常分三步：(1)找出f(k1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)g(k)代入；(3)作恒等变形，化为g(k1).利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1 12 13 14 12n1 12n 1n1 1n2 12n(n1，nN).思路点拨 验证n1时成立 假设nk时成立 凑目标，验证nk1时成立 下结论证明：当n1时，左边11212，右边12，命题成立.假设当nk
9、(k1，kN)时，命题成立，即112131412k1 12k 1k1 1k2 12k.则当nk1时，112131412k1 12k12k112k2 1k1 1k2 12k12k112k2 1k2 1k312k112k2，即当nk1时，命题也成立.由知，命题对一切n1，nN均成立.【点评】nk时假设的内容与nk1的目标，究竟有多 少 异 同，怎 么 消 除 差 异，这 是 数 学 归 纳 法 的 重 要 内容.“配”“凑”是解决此类问题的有效手段.2.用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN).证明：当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立.假设当nk(k
10、N)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立.根据，可知等式对任何nN都成立.证明不等式往往比证明恒等式的难度更大，方法也更灵活.高中阶段我们已经学习过作差比较法、作商比较法，另外也有涉及放缩法.一般而言，利用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，其中往往会用到放缩法.用数学归纳法证明不等式f(n)g(n)的第二步的基本格式为：假设nk时，f(k)g(k)成立，则nk1时，f(k1)f(k)ak1g(k)ak1g(k1).
11、利用数学归纳法证明不等式已知Sn112131n(n1，nN).求证：S2n1n2(n1，nN).思路点拨注意S2k1S2k12k112k2 12k1，用放缩法解决问题.证明：当n2时，S22S411213142512122，即当n2时，命题成立.假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即S2k1121312k1k2.则当nk1时，S2k11121312k12k1 12k11k212k112k212k2k1k2 2k22k1k12，即当nk1时，命题也成立.由可知，不等式S2n1n2对n1且nN都成立.【点评】放缩法是解决此类问题的常用方法.应用放缩法要注意：找准目标；尝试多种放缩方式，一次性放缩
12、成功几乎是不可能的.3.数列an满足a11且an111n2n an 12n(n1，且nN)，用数学归纳法证明：an2(n2，且nN).证明：当n2时，a2 112 1 12 22，不等式成立.假设当nk(kN，且k2)时不等式成立，即ak2(k2)，那么ak111kk1 ak12k2.即当nk1时不等式也成立.根据可知，an2对所有n2，且nN都成立.用数学归纳法证明此类题目的关键是第二步，主要是利用归纳假设经过恒等变形，得到结论所需要的形式，即向着结论“凑”.在整数整除中，主要寻求要证的式子与除数的关系，即将式子分解成除数与其他因数的积的形式；在多项式整除时，考虑如何变形，使结论能分解成除式
13、与其他因式的积的形式，其中会用到“增减项”的技巧.利用数学归纳法证明整除问题求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，n为正整数.思路点拨证明本题的关键是当nk1时拼凑出nk时的表达式ak1(a1)2k1.证明：当n1时，a11(a1)21a2a1，命题显然成立.假设当nk(k1)时，命题成立，即ak1(a1)2k1能被a2a1整除.则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1a(a1)2k1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时，命题也成立.由知，对一切正
14、整数n，命题成立.【点评】利用增项、减项、拆项、因式分解等技巧实现“凑项”的目的，从而建立nk的假设与nk1的证明目的之间的联系，这是解决整除问题的常用方法.4.求证：f(n)(2n7)3n9能被36整除.证明：当n1时，f(1)(217)3936，能被36整除.假设nk时，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除.则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11).由归纳假设知3(2k7)3k9能被36整除.3k11是偶数，18(3k11)能被36整除.f(k1)能被36整除.由可知，对任何nN，f(n)能被36整除.【点评】若将本题改为“已知f(n)
15、(2n7)3n9，是否存在正整数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.”则只要由f(1)36，f(2)108，f(3)360，可猜想能整除f(n)的最大整数是36，证明过程可见上.用数学归纳法解决几何问题(1)平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成(n2n2)个部分.(2)求证：凸n边形的对角线的条数f(n)12n(n3)(n4).证明：(1)当n1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.假设当nk时，k个圆将平面分成(k2k2)个部分.当nk1时，因为第(k1)个圆Ck1交前面圆
16、于2k个点，这2k个点将圆Ck1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这(k1)个圆将平面分成(k2k22k)个部分，即(k1)2(k1)2个部分.故当nk1时，命题成立.由可知，对nN命题成立.(2)当n4时，f(4)124(43)2，四边形有两条对角线，命题成立.假设nk时，命题成立，则凸k边形的对角线的条数f(k)12k(k3)(k4).凸k1边形增加的对角线条数是顶点Ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加了对角线的条数为(k13)1k1.【点评】如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，通常要结合图形分析.f(k1)12k(
17、k3)k112(k2k2)12(k1)(k2)12(k1)(k1)3.故当nk1时，命题成立.由可知，对于任何n4，nN命题成立.5.平面内有n(nN，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点.求证：交点的个数f(n)nn12.证明：当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)122(21)1，当n2时，命题成立.假设nk(k2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为f(k)12k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l外其他k条直线交点个数为f(k)12k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而(k1)条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)k
18、12k(k1)k12k(k12)12k(k1)12(k1)(k1)1.当nk1时，命题成立.由可知，对任意nN(n2)命题都成立.数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的.因此，“归纳、猜想、证明”能更好地体现数学归纳法的起源及数学归纳法递推的本质，是近几年高考热点问题之一.(1)在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面：已知数列的递推公式，求通项或前n项和；由恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在；给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题.(2)这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等.解题一般分三步进行：验证p(1)，p(2)，p(3)，p(4)，；提出猜想；用数学归纳法证明.(3)运用数学归纳法时易犯的错误：对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错.不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二十一)谢谢观看！
