1、第六节 双曲线教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以选择、填空题为主，难度为中低档一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.基础梳理1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离(|F1F2|2c0)为非零常数2a(2a0，c0.当时，M点的轨迹是双曲线；当时，M点的轨迹是两条射线；当时，M点不存
2、在2a|F1F2|2双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)三基自测1(选修11习题2.2A组改编)双曲线x23y221的焦距为()A3 2B.5C2 5D.4 5答案：C2(选修11习题2.2A组改编)x22m y2m1 1表示双曲线，则m的范围为_答案：(，2)(1，)3(选修11习题2.2A组改编)双曲线 x216 y29 1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是_答案：(8，3 3)4(选修112.2练习改编)以椭圆 x24 y23 1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_答案：x2y231考点一|双曲线的定义及
3、其应用(易错突破)【例1】(1)设过双曲线x2y29左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点若|PQ|7，则F2PQ的周长为()A19 B.26C43 D.50(2)已知F1，F2为双曲线x25 y24 1的左，右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.374 B.374C.372 5D.372 5解析(1)如图，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，|QF2|QF1|2a，得|PF2|QF2|PQ|4a，F2PQ 的周长为|PF2|QF2|PQ|4a|PQ|PQ|432726.(2)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1
4、|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|37，|AP|AF2|AP|AF1|2a 372 5.答案(1)B(2)C名师点拨 1.利用双曲线的定义解决问题时，要注意三点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a0，b0)的左焦点F1，作圆x2y2a2的切线交双曲线的右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是()Aba|MO|MT|B.ba|MO|MT|Cba0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线
5、的方程为()A.x243y24 1 B.x244y23 1C.x24y241 D.x24y2121(3)(2018沈阳质检)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于点 A(异于点 O)，若AFO6，则双曲线 C 的离心率为()A.2 B.3C.2D.2 33(4)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_解析(1)由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n1.2与双曲线x2a2y2b21共渐近线
6、的方程可设为x2a2y2b2(0)3若渐近线的方程为ybax，则可设双曲线方程为x2a2y2b2(0)4若焦点不确定时，双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)5与双曲线x2a2y2b21共焦点的双曲线方程可设为 x2a2k y2b2k1(b2k0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.x216y291 B.x23y241C.x29y2161 D.x24y231答案：C(2)(2018成都诊断性检测)如图，已知双曲线E：x2a2 y2b2 1(a0，b0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点
7、，且点C，D在双曲线E上，若|AB|6，|BC|52，则此双曲线的离心率为()A.2B.32C.52D.5解析：因为2c|AB|6，所以c3.因为b2a|BC|52，所以5a2b2.又c2a2b2，所以9a25a2，解得a2或a92(舍去)，故该双曲线的离心率eca32.故选B.答案：B考点三|双曲线与直线的综合问题(思维突破)【例3】已知双曲线x2 y22 1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由 ykx1k，x2y221，消去y得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0 x1x22k1k2k2.由题意，得k1k2k2 1，解得k2.当k2时，方程可化为2x24x30.162480，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_答案：y 2x
