1、62直接证明与间接证明62.1直接证明：分析法与综合法1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法(1)综合法的定义从命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法(2)综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件2分析法(1)分析法的定义从命题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法(2)分析法的特点从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件1判
2、断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()答案：(1)(2)(3)2在ABC中，sin Asin Ccos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案：C3欲证 ，只需证明()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2答案：C4函数f(x)axb在(，)上是增函数，则a的取值范围是_答案：(0，)综合法的应用如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC.(2)求证：平面
3、PAB平面PAC.【证明】(1)因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.综合法证明问题的步骤1.已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc，又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.2求证：sin(2)sin 2sin cos()证明：因为sin(2)2sin
4、cos()sin()2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin sin()sin .所以原命题成立分析法的应用已知ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角【证明】要证B为锐角，根据余弦定理，只需证明cos B0，即证a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要证a2c2b20，只需证2acb20.因为a，b，c的倒数成等差数列，所以，即2acb(ac)要证2acb20，只需证b(ac)b20，即b(acb)0，上述不等式显然成立，所以B为锐角分析法证明数学问题的方法 已知非零向量a，b，且ab，求证： .证明：a
5、bab0，要证 ，只需证|a|b| |ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证综合法和分析法的综合应用ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【证明】法一：要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，即证3，即证1.只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos
6、60，即b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证法二：因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，得c2a2acb2，两边同时加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，所以，所以(ab)1(bc)13(abc)1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用
7、 1.设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此不等式得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.因为a0，b0，所以ab0，所以(ab)(a2abb2)ab(ab)所以a3b3a2bab2.2在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c
8、1)证明：由已知得所以x，y，即xy，从而2a.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1成立只需证a1即可也就是证2abc.而2a，则只需证bc成立即可，即证b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20成立，上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1)综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有清晰的思路，严密
9、的逻辑，简洁的语言第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程为：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路2A，B为ABC的内角，“AB”是“sin Asin B”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.若AB，则ab.又，所以sin A
10、sin B.若sin Asin B，则由正弦定理得ab，所以AB.3设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：2.证明：由题知c，x，y，则2，即2.4设a，b为实数，求证： (ab)证明：当ab0时，因为 0，所以 (ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证 (ab)，只需证()2，即证a2b2(a2b22ab)即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立所以(ab)成立综上所述，不等式成立 A基础达标1分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的()A充分条件B必要条件C充要条件 D等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件
11、2要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0解析：选D.要证：a2b21a2b20，只需证：a2b2a2b210，只需证：(a21)(b21)0，故选D.3若a1，0b1，则下列不等式中正确的是()Aab1 Bba1Clogab0 Dlogba0解析：选C.aba01，bab01，logabloga10，logbalogb10.4若ab0，则下列不等式中成立的是()A.bCba D.解析：选C.因为ab.由不等式的同向可加性知ba.5下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)
12、成立”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，)上是减函数，A项中，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为减函数6设a2，b2，则a，b的大小关系为_解析：a2，b2，两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然， .所以ab.答案：ab7在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_解析：如图所示，在ABC中，由正弦定理得，解得sin B1，所以B90，所以SABCAB222.答案：28如果ab，则实数a，b应满足的条件是_解析：要使ab成立，只需(a)2(b)2，只需a3b30，即a，b应满足a
13、b0.答案：ab09在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C判断ABC的形状解：因为ABC180，所以sin Csin(AB)又2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又A与B均为ABC的内角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，a2b2c2ab.又由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2c22abcos C.所以2abcos Cab，cos C，所以C60.又因为AB，所以ABC为等边三角形10求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时
14、，圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为，正方形的面积为，则本题即证.要证，即证，即证，即证4，因为4显然成立，所以.故原命题成立B能力提升11在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()Aa2b2c2 Da2b2c2解析：选C.由余弦定理得cos A0，所以b2c2a20，即b2c2a2.12如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足_时，BDA1C(写上一个条件即可)解析：要证BDA1C，只需证BD平面AA1C.因为AA1BD，只要再添加条件ACBD，即可证明BD平面AA1C，从而有BDA1C.答案：
15、ACBD(答案不唯一)13.如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO，则由CBCD知，COBD.又ECBD，ECCOC，所以BD平面OCE，所以BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.(2)取AB的中点N，连接MN，DN，DM.因为M，N分别是AE，AB的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.因为ABD为正三角形，所以DNAB.由BCD120，CBCD知，CBD30，所以ABC603090，即BCAB
16、，所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，所以平面MND平面BEC，又DM平面MND，故DM平面BEC.14(选做题)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，nN*，其中A、B为常数(1)求A与B的值；(2)证明：数列an为等差数列解：(1)由已知得S1a11，S2a1a27，S3a1a2a318.由(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，得即解得(2)证明：由第一问得(5n8)Sn1(5n2)Sn20n8.所以(5n3)Sn2(5n7)Sn120n28.，得(5n3)Sn2(10n1)Sn1(5n2)Sn20.所以(5n2)Sn3(10n9)Sn2(5n7)Sn120.，得(5n2)Sn3(15n6)Sn2(15n6)Sn1(5n2)Sn0.因为an1Sn1Sn，所以(5n2)an3(10n4)an2(5n2)an10.因为5n20，所以an32an2an10.所以an3an2an2an1，nN*.又a3a2a2a15，所以数列an为等差数列
