1、安徽省六安中学2017届高三（下）第七次月考数学试卷（理科）（解析版）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合P=xR|0x3，Q=xR|x24，则P（RQ）=（）A0，3B（0，2C0，2）D（0，32设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y是实数，则|2x+yi|=（）A1BCD3执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）Ay=2xBy=3xCy=4xDy=5x4我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古
2、代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）ABCD5设a=0.70.4，b=0.40.7，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为（）AbacBacbCbcaDcba6ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7函数y=的一段大致图象是（）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积是（）ABCD9
3、若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A1B1CD210已知点A是双曲线（a，b0）右支上一点，F是右焦点，若AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）ABC1+D1+11设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A=1（y0）B=1（y0）C +=1（y0）D +=1（y0）12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22D
4、e22，+）二.填空题：本小题共4题，每小题5分.13已知菱形ABCD的边长为2，ABC=60，则=14在（1+x）（1+2x）5的展开式中，x4的系数为 （用数字作答）15若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是16某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知A、B、C为ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若co
5、sBcosCsinBsinC=（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求ABC的面积18（12分）已知f（x）=2sinx，集合M=x|f（x）|=2，x0，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，设数列bn的前n项和为Tn，求证Tn19（12分）已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点（）求证：平面AEF平面PAD（）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角CAFE的余弦值20（12分）如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与
6、x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANM=BNM21（12分）设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）=2（）将直线l化为直角坐标方程；（）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）
7、=|2x7|+1（1）求不等式f（x）x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）2|x1|a成立，求实数a的取值范围2016-2017学年安徽省六安中学高三（下）第七次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合P=xR|0x3，Q=xR|x24，则P（RQ）=（）A0，3B（0，2C0，2）D（0，3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合Q，根据交集和补集的定义写出运算结果即可【解答】解：集合P=xR|0x3，Q=xR|x24=x|x2或x2，则RQ=x|2x2，P（RQ）=x|0x2=0，
8、2）故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y是实数，则|2x+yi|=（）A1BCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则答案可求【解答】解：由（1+i）（x+yi）=2，得xy+（x+y）i=2，即，解得，|2x+yi|=|2i|=故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题3执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）Ay=2xBy=3xCy=4xDy=5x【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知
9、：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y236，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y236，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y236，故y=4x，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这1
10、0部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）ABCD【考点】排列、组合的实际应用；古典概型及其概率计算公式【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1=故选A【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题5设a=0.70.4，b=0.40.7，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为（
11、）AbacBacbCbcaDcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=0.70.40.40.4=c，b=0.40.7c=0.40.4，acb故选：C【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2
12、B，B=60，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90或B=60，角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键7函数y=的一段大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断【解答】解：f（x）=f（x），y=f（x）为奇函数，图象关于原点对称，当x=时，y=0，故选：A【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题8
13、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由图中数据求出三棱锥的表面积【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，则三棱锥的表面积是+2=2+2，故选D【点评】本题考查由三视图求面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键9若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A1B1CD2【考点】简单线性规划的应用【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，
14、则m1，由此可得结论【解答】解：由题意，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示可得m1实数m的最大值为1故选B【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题10已知点A是双曲线（a，b0）右支上一点，F是右焦点，若AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）ABC1+D1+【考点】双曲线的简单性质【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），代入双曲线方程，可得 b2c23a2c2=4a2b2，又c2
15、=a2+b2，得e2=4+2，e=，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力11设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A=1（y0）B=1（y0）C +=1（y0）D +=1（y0）【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆【解答】解：设A，B两点到直线l的距离分别为d1，d2，则d1+d2=2d=6又因为A，B两点在抛
16、物线上，由定义可知|AF|+|BF|=6|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴为6的椭圆（除与x轴交点）方程为+=1（y0），故选C【点评】本小题主要考查椭圆的定义、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22De22，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即
17、可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选B【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解二.填空题：本小题共4题，每小题5分.13已知菱形ABCD的边长为2，ABC=60，则=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数
18、量积公式，即可求出结果【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2，ABC=60，C=120，BD2=22+22222cos120=12，BD=2，且BDC=30，=|cos30=22=6故答案为：6【点评】本题考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，是基础题目14在（1+x）（1+2x）5的展开式中，x4的系数为160 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】根据（1+x）（1+2x）5的展开式中，含x4的项是第一个因式取1和x时，后一个因式应取x4和x3项，求出它们的系数和即可【解答】解：在（1+x）（1+2x）5的展开式中：当第一个因式取1时，则后一个因式取含x4的项为24x4
19、=80x4；当第一个因式取x时，则后一个因式取含x3的项为23x3=80x3；所以展开式中x4的系数为：80+80=160故答案为：160【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目15若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】将函数f（x）化简后，根据平移变换的规律，得图象关于y轴对称，利用诱导公式可得答案【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），向左平移个单位，可得sin（2x+2+），要使所得图象关于y轴对称，2+=，即=，（kZ）当k=0时，可得的最
20、小正值为故答案为：【点评】函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式的运用，属于基础题16某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用10年报废最合算（即平均每年费用最少）【考点】基本不等式【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年
21、的平均费用为y=0.1x+1.52+1.5=3.5万元当且仅当x=10成立故答案为：10【点评】本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大，属于中档题三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）（2016春南充期末）已知A、B、C为ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosCsinBsinC=（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平
22、方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（1）在ABC中，cosBcosCsinBsinC=，cos（B+C）=，又0B+C，B+C=，A+B+C=，A=； （）由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得（2）2=（b+c）22bc2bccos，把b+c=4代入得：12=162bc+bc，整理得：bc=4，则ABC的面积S=bcsinA=4=【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18（12分）（2017河南一模）已知f（x）=2sinx，集合M=x|f（x
23、）|=2，x0，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，设数列bn的前n项和为Tn，求证Tn【考点】数列的求和【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果【解答】解：（1）f（x）=2sinx，集合M=x|f（x）|=2，x0，则：解得：x=2k+1（kZ），所以M=x|x=2k+1，kZ把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an，M=1，3，5，2k+1，kZ，所以：an=2n1证明：（2）记bn=，数列bn的前n项和为Tn，=所以：Tn=b1+b2+bn+）=【点评】本题考
24、查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法和放缩法求数列的和19（12分）（2016秋韶关期末）已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点（）求证：平面AEF平面PAD（）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角CAFE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）连接AC，推导出AEBC，AEAD，PAAE，由此能证明平面AEF平面PCD （）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CA
25、FE的余弦值【解答】证明：（）连接AC，底面ABCD为菱形，ABC=60，ABC是正三角形，E是BC中点，AEBC，又ADBC，AEAD，（1分）PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，（2分）又PAAE=A，AE平面PAD，（3分）又AE平面AEF，平面AEF平面PCD （4分）解：（）由（）得，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，AE平面PAD，AME就是EM与平面PAD所成的角，（6分）在RtAME中，tan，即=，设AB=2a，则AE=，得AM=，又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），AM=，从而
26、b=a，PA=AD=2a，（7分）则A（0，0，0），B（，a，0），C（），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（），F（，a），=（），=（，a），=（），（8分）设=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则，取z=a，得=（0，2a，a），（9分）又BD平面ACF， =（）是平面ACF的一个法向量，（10分）设二面角CAFE的平面角为则cos=（11分）二面角CAFE的余弦值为（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）（2015春钟祥市校级期中）如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半
27、轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANM=BNM【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）设圆的半径为r吗，根据|MN|=3求出r，即可确定出圆C的方程；（） 把y=0代入圆方程求出x的值，确定出M与N坐标，当ABx轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为yk（x1），与椭圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证【解
28、答】解：（）设圆C的半径为r（r0），依题意，圆心坐标为（r，2），|MN|=3，r2=（）2+22=，圆C的方程为（x）2+（y2）2=；（）把y=0代入方程（x）2+（y2）2=，解得：x=1，或x=4，即M（1，0），N（4，0），当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANM=BNM；当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为y=k（x1），联立方程，消去y得：（k2+2）x22k2x+k28=0，设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，y1=k（x11），y2=k（x21），kAN+kBN=+=+=，（x11）（x24）+（x21）（x14）=2x1
29、x25（x1+x2）+8=+8=0，kAN+kBN=0，ANM=BNM，综上所述，ANM=BNM【点评】此题考查了直线与圆方程的应用，椭圆的简单性质，圆的标准方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（12分）（2015新课标）设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；导数的运算【分析】（）先求导，在分类讨论，当a0时，当a0时，根据零点存在定理，即可求出；（）设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0）
30、，只要最小值大于2a+aln，问题得以证明【解答】解：（）f（x）=e2xalnx的定义域为（0，+），f（x）=2e2x当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）没有零点，当a0时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又f（a）0，假设存在b满足0b时，且b，f（b）0，故当a0时，导函数f（x）存在唯一的零点，（）由（）知，可设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，当x（0，x0）时，f（x）0，当x（x0+）时，f（x）0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+）单调递增，所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于=0，所以f（
31、x0）=+2ax0+aln2a+aln故当a0时，f（x）2a+aln【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2016秋韶关期末）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）=2（）将直线l化为直角坐标方程；（）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）直线l的极坐标方程转化为cos+sin=4，由x=cos，y=sin，能示出直线l的直角坐标方
32、程（）设点Q的坐标为（），点Q到直线l的距离为d=，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标【解答】解：（）直线l的极坐标方程为cos（）=2（cos+sin）=2，化简得，cos+sin=4，（1分）由x=cos，y=sin，直线l的直角坐标方程为x+y=4（3分）（）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（），（4分）点Q到直线l的距离为d= =（7分）当sin（）=1时，即，dmax=3（9分）此时，cos=，sin，点Q（）（10分）【点评】本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的一点到直线的距离的最大值及此时点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真
33、审题，注意极坐标与直角坐标的互化公式的合理运用选修4-5：不等式选讲23（2017深圳一模）设函数f（x）=|2x7|+1（1）求不等式f（x）x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）2|x1|a成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函数，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围【解答】解：（1）由f（x）x得|2x7|+1x，不等式f（x）x的解集为；（2）令g（x）=f（x）2|x1|=|2x7|2|x1|+1，则，g（x）min=4，存在x使不等式f（x）2|x1|a成立，g（x）mina，a4【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数的最值问题，是一道基础题
