1、2014-2015学年安徽省滁州市凤阳县临淮中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1设集合A=0，1，4，集合B=x|x23x40，则AB等于（） A 0，1 B 0，4 C 1，4 D （0，1，4）2某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（） A 10 B 15 C 20 D 303若角的始边是x轴正半轴，终边边点P（1，y），且sin=，则cos=（） A B C D 4已知x，y的取值如下表所示 x0134y2.24
2、.3a6.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+2.6，则a等于（） A 4.8 B 3.0 C 2.8 D 2.65设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2xy的最小值为（） A 1 B 1 C 3 D 36一个几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是（） A 球 B 圆柱 C 三棱柱 D 圆锥7若a=，b=log3，c=log3，则a，b，c大小顺序正确的为（） A abc B cba C cab D acb8如图给出了计算3+5+7+19的值的一个程序框图，其中空白处应填入（） A i9 B i10 C i19 D
3、i209已知直线ax+by1=0（a0，b0）过圆x2+y24x2y=0的圆心，则+的最小值为（） A B C D 10已知函数f（x）=，则不等式f（x）2x23的解集为（） A （0，2 B 2，0 C 2，2 D 2，0）（0，2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知向量与的夹角为60，且|=1，=2，则|=12某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是13 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示，已知甲、乙两小组的数学成绩的平均分相同，则a=14已知sin（+）=，
4、是第二象限，则cos（）=15已知a0，b0，a+b=1，则下列结论正确的有+2；ab的最大值为；a2+b2的最小值为；+的最大值为9；a（2b1）的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤16在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面积等于，求a，b；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积17某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组160，165），第2组165，170），第3组170，175），第4组175，180），第5组180
5、，85，得到的频率分布直方图如图所示（1）求第3，4，5组的频率；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？18如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点（1）求证：BD1平面A1DE（2）求证：D1EA1D；（3）求点B到平面A1DE的距离19甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）甲机床：10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10
6、9.9 10.1乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数和方差，如图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？（样本数据x1，x2，xn的样本方差s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为样本均数）20设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（nN*）（1）若a1=2，点（2+a6，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若数列an的公差不为0，且a1=1，a2，a4，a6成等比数列，求数列的前n项和Tn21在平面直角坐标系
7、中，曲线y=x22x+8与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线2xy+a=0交于A，B两点，且OAOB，求a的值2014-2015学年安徽省滁州市凤阳县临淮中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1设集合A=0，1，4，集合B=x|x23x40，则AB等于（） A 0，1 B 0，4 C 1，4 D （0，1，4）考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 利用交集的性质求解解答： 解：集合A=0，1，4，集合B=x|x23x40=x|1x4，AB=
8、0，1故选：A点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用2某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（） A 10 B 15 C 20 D 30考点： 系统抽样方法专题： 计算题；概率与统计分析： 由系统抽样法，分段间隔为=30解答： 解：N=1500，n=50；=30，故选D点评： 本题考查了系统抽样的方法，属于基础题3若角的始边是x轴正半轴，终边边点P（1，y），且sin=，则cos=（） A B C D 考点： 任意角的三角函数的定义专题： 三角函数的求值分析： 利用三角函数的定义求出y，然
9、后求解cos即可解答： 解：角的始边是x轴正半轴，终边边点P（1，y），且sin=，sin=，解得y=2，cos=故选：D点评： 不考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查4已知x，y的取值如下表所示 x 0 1 3 4y 2.2 4.3 a 6.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+2.6，则a等于（） A 4.8 B 3.0 C 2.8 D 2.6考点： 线性回归方程专题： 计算题；概率与统计分析： 求出样本中心点，代入y=0.95x+2.6，可得a的值解答： 解：由题意，=（0+1+3+4）=2，=（2.2+4.3+a+6.7）=（13.2+a），代入y=0.95x+2
10、.6，可得（13.2+a）=0.952+2.6，a=4.8故选：A点评： 本题考查回归直线方程的求法，是统计中的一个重要知识点，由公式得到样本中心点在回归直线上是关键5设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2xy的最小值为（） A 1 B 1 C 3 D 3考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2xy的最小值解答： 解：由z=2xy，得y=2xz，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2xz，由平移可知当直线y=2xz，经过点A时，直线y=2xz的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即A（1，1）将
11、A（1，1）的坐标代入z=2xy，得z=21=3，即目标函数z=2xy的最小值为3故选：D点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6一个几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是（） A 球 B 圆柱 C 三棱柱 D 圆锥考点： 由三视图还原实物图专题： 空间位置关系与距离分析： 利用几何体的形状判断三视图的情况，找出满足题意的选项解答： 解：球的三视图，都是圆，满足几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，所以A正确；圆柱的三视图中
12、正（主）视图、侧（左）视图、相同，俯视图是圆，不满足题意，B不正确三棱柱的三视图，可能三个视图都不相同，不满足题意，C不正确；圆锥的三视图中正（主）视图、侧（左）视图、相同，俯视图是圆，不满足题意，D不正确故选：A点评： 本题考查三视图的应用，基本知识的考查7若a=，b=log3，c=log3，则a，b，c大小顺序正确的为（） A abc B cba C cab D acb考点： 对数值大小的比较专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出解答： 解：log3log30，a=，b=log3，c=log3，cba故选：B点评： 本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于
13、基础题8如图给出了计算3+5+7+19的值的一个程序框图，其中空白处应填入（） A i9 B i10 C i19 D i20考点： 循环结构专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的S，n，i的值，当i的值为10时，有S=3+5+7+17+19，符合题意，对比四个选项即可解答： 解：执行程序框图，有S=0，n=3，i=1第1次执行循环体，有S=3，n=5，i=2第2次执行循环体，有S=3+5，n=7，i=3第3次执行循环体，有S=3+5+7，n=9，i=4第9次执行循环体，有S=3+5+7+17，n=19，i=9第10次执行循环体，有S=3+5+7+17+19，n=21，i
14、=10此时结合题意，S=3+5+7+17+19，应退出循环，输出S的值，故条件应设为i9故选：A点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题9已知直线ax+by1=0（a0，b0）过圆x2+y24x2y=0的圆心，则+的最小值为（） A B C D 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： 直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可解答： 解：圆x2+y24x2y=0 即 （x2）2+（y1）2=5，表示以C（2，1）为圆心，半径等于的圆由于直线ax+by1=0（a0，b0）过圆x2+y24x2y=0的圆心，故
15、有2a+b=1+=（+）（2a+b）=+当且仅当a=b=时，取等号，故+的最小值为，故选：A点评： 本题主要考查圆的标准方程，基本不等式的应用，属于中档题10已知函数f（x）=，则不等式f（x）2x23的解集为（） A （0，2 B 2，0 C 2，2 D 2，0）（0，2考点： 一元二次不等式的解法专题： 不等式的解法及应用分析： x0时，x2+12x23；x0时，3x2x23分别解出即可解答： 解：x0时，x2+12x23，化为x24，解得0x2x0时，3x2x23，化为2x2+x60，解得2x0综上可得：不等式f（x）2x23的解集为2，2故选：C点评： 本题考查了分段函数的性质、一元二
16、次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知向量与的夹角为60，且|=1，=2，则|=6考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题： 平面向量及应用分析： 根据平面向量的线性运算表示出，再根据数量积的运算即可求出|的值解答： 解：根据题意，得；=（）=|cos60=1|12=2，|=6故答案为：6点评： 本题考查了平面向量的线性运算的问题，也考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题12某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是考点： 程序框图分析： 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序
17、的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值即求分段函数的函数值解答： 解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模13 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图
18、中以a表示，已知甲、乙两小组的数学成绩的平均分相同，则a=3考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： 根据茎叶图中的数据，结合平均数的概念，即可求出a的值解答： 解：根据茎叶图中的数据，得；甲的平均数是（87+89+96+96），乙的平均数是（87+90+a+93+95），（87+89+96+96）=（87+90+a+93+95）；a=3故答案为：3点评： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题14已知sin（+）=，是第二象限，则cos（）=考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数专题： 三角函数的求值分析： 由同角三角函数的基本关系可得
19、cos（+）的值，而cos（）=cos（+）cos+sin（+）sin，代值化简即可解答： 解：sin（+）=，是第二象限，cos（+）=，cos（）=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故答案为：点评： 本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题15已知a0，b0，a+b=1，则下列结论正确的有+2；ab的最大值为；a2+b2的最小值为；+的最大值为9；a（2b1）的最大值为考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用；简易逻辑分析： 由已知的条件分别利用基本不等式及二次函数最值的求法分别判断5个命题得答案解答： 解：a0，b0，a+b=1，对于
20、，+2错误；对于，ab即ab的最大值为正确；对于，a2+b2的最小值为命题正确；对于，+=9当且仅当，即a=，b=时上式取等号命题正确；对于，a（2b1）=（1b）（2b1）=2b2+3b1，当时，a（2b1）的最大值为命题错误故正确的命题是故答案为：点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本不等式的用法，考查了学生的逻辑思维能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤16在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面积等于，求a，b；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积考
21、点： 余弦定理的应用分析： （）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值（）通过C=（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（BA）=2sin2A，求出sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积解答： 解：（）c=2，C=，c2=a2+b22abcosCa2+b2ab=4，又ABC的面积等于，ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（）sinC+sin（BA）=sin（
22、B+A）+sin（BA）=2sin2A=4sinAcosA，sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，求得此时当cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，所以ABC的面积综上知ABC的面积点评： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力17某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组160，165），第2组165，170），第3组170，175），第4组175，180），第5组180，85，得到的频率分布直方图如图所示（1）求第3，4，5组的频率；（2）为
23、了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？考点： 频率分布直方图专题： 计算题分析： （1）在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，（2）可先由直方图第3，4，5各组学生数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解解答： 解：（1）由已知，第3组的频率为0.065=0.3，4组的频率为0.045=0.2，第5组的频率为0.025=0.1（2）第3组的人数为0.3100=30，第4组的人数为0.2100=20，第5组的人数为0.1100=10，因为第3，4，5组共
24、有60人，所以利用分层抽样的方法抽取6名学生，每组抽取的人数为：第3组：=3，第4组：=2，第5组：=1，所以第3，4，5组分别抽取3名，2名，1名学生进入第二轮面试点评： 本题考查频率分布直方图的相关知识直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于18如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点（1）求证：BD1平面A1DE（2）求证：D1EA1D；（3）求点B到平面A1DE的距离考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
25、专题： 空间位置关系与距离分析： （1）由题意，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OEBD1，再利用直线和平面平行的判定定理证明BD1平面A1DE（2）由于D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1AA1D，再利用三垂线定理可得D1EA1D（3）由题意可得A、B两点到平面A1DE的距离相等，设为h，根据 =，利用等体积法求得h的值解答： （1）证明：正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OEBD1由于OE平面A1DE，BD1不在平面A1DE内，故BD1平面A1DE（
26、2）证明：由题意可得D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1AA1D，由三垂线定理可得D1EA1D （3）设点B到平面A1DE的距离为h，由于线段AB和平面A1DE交于点E，且E为AB的中点，故A、B两点到平面A1DE的距离相等，即求点A到平面A1DE的距离h由于=，=，=，=，即 =，解得 h=点评： 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、三垂线定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化的数学思想，属于中档题19甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）甲机床：10.2 10.1 10 9.8 9
27、.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1；乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数和方差，如图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？（样本数据x1，x2，xn的样本方差s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为样本均数）考点： 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： 分别求出两个样本的平均数和方差，由此从计算的结果来看甲台机床加工这种零件较合适解答： 解：=10，=（10.3+10.4+9.6+9.9+10.1+10.9+8.9+9.7+10
28、.2+10）=10，=（10.210）2+（10.110）2+（1010）2+（9.810）2+（9.910）2+（10.310）2+（9.710）2+（1010）2+（9.910）2+（10.110）2=0.03，=（10.310）2+（10.410）2+（9.610）2+（9.910）2+（10.110）2+（10.910）2+（8.910）2+（9.710）2+（10.210）2+（1010）2=0.258，计算的结果来看甲台机床加工这种零件较合适点评： 本题考查样本的平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用20设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函
29、数f（x）=2x的图象上（nN*）（1）若a1=2，点（2+a6，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若数列an的公差不为0，且a1=1，a2，a4，a6成等比数列，求数列的前n项和Tn考点： 等差数列与等比数列的综合专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）bn=2，an=2+（n1）d，426d2=25d2，求出d的值，即可求解数列an的前n项和Sn；（2）根据公式性质列出数列的前n项和Tn=+，运用错位相减的方法求解解答： 解：（1）函数f（x）=2x由已知，bn=2，an=2+（n1）d，b1=22=，a6=5d2，b7=2点（2+a6，4b7）在函数
30、f（x）的图象上，22+5d2=4a7，426d2=25d2，d=2，所以an=2n4，Sn=n（n3），（2）设an的公差为d，（d0），由a1=1，a2，a4，a6成等比数列，所以（1+3d）2=（1+d）（1+7d），d=1，an=n，从而n=2n，=，数列的前n项和Tn=+，Tn=+得：Tn=+=1（）n，即数列的前n项和Tn=2=点评： 本题考查了等比，等差数列的公式，性质，求和运用公式，错位相减的方法，融合了指数函数的性质，难度较大21在平面直角坐标系中，曲线y=x22x+8与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线2xy+a=0交于A，B两点，且OAOB，求
31、a的值考点： 圆与圆锥曲线的综合专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（2）利用设而不求思想设出圆C与直线xy+a=0的交点A，B坐标，通过OAOB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值解答： 解：（1）设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=8，有64+8E+F=0y=0，x2 2x+8=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=2，F=8，E=7，即圆方程为x2+y2+2x7y8=0（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程5x2+（4a12）x+a27a8=0，由已知可得判别式=304+44a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=，x1x2=，由于OAOB可得x1x2+y1y2=0，又y1=2x1+a，y2=2x2+a，所以可得5x1x2+2a（x1+x2）+a2=0由可得2a235a40=0，解得a=8或a=，此时满足0a=8或a=点评： 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型
