1、第四章 导数及其应用 4.1.3 导数的概念和几何意义4.1 导数概念 学习目标重点难点1.通过实例分析，体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数的概念建立的背景2.理解瞬时变化率的含义，并知道瞬时变化率就是导数3.会求函数f(x)在某一点x0处的导数4.理解导数的几何意义，并能利用几何意义解决相关问题5.会求与导数相关的切线问题.1.重点：导数的概念及其几何意义2.难点：求函数导数及其几何意义的应用.1函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比，称为_.它表示函数在自变量的某个区间上的_.固定区间的一个端点a，当区间长度趋于0时，如果平均变化率趋于一个极限值，那么称这个极限值为函数在a
2、处的_.2设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值fx0dfx0d在d趋于0时(d0)趋于确定的极限值，那么称此极限值为函数f(x)在xx0处的_或_，记作f(x0)差商平均变化率瞬时变化率导数微商3用符号语言可将导数的定义简单表述为_或_.4f(x)称为f(x)的_，f(x)是_的导函数，称为f(x)的_.fx0dfx0df(x0)(d0)fx0dfx0df(x0)(d0)导函数f(x)二阶导数5求导函数的步骤(1)求平均变化率fxdfxd；(2)求d趋于0时，fxdfxd的极限值，即为f(x)6导数的几何意义曲线yf(x)在x0处的切线斜率即为函数yf(x)在x0处的导数求函数
3、在某点处的导数求函数y4x2在x2处的导数思路点拨由所给函数解析式求yf(xx0)f(x0)，计算yx，求yx的极限值解：f(x)4x2，yf(2x)f(2)42x214xx22x2.yx4x2x2.当x0时，yx4x2x21.f(2)1.【点评】由导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤：求函数的增量yf(x0 x)f(x0)；求平均变化率yxfx0 xfx0 x；取极限，得导数f(x0)1函数yx2在x1处的导数为()A2x B2xC2D1答案：C解析：y(1x)2122x(x)2，yx2xx2x2x.当x0时，yx2.已知曲线y3x2x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切
4、线方程思路点拨利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程求曲线的切线方程解：yx31x21x3121x53x,当x趋于0时，53x趋于5，曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.【点评】求曲线在点(x0，f(x0)处的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2曲线yx2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.14B12C1D2解析：由变式训练1知y|x12，切线斜率k2.切线方程为y12(x1)，即y2x1.如图，切线y
5、2x1与x轴交点为 12，0，与y轴交点(0，1)，S1212114.答案：A 已知抛物线y2x21.(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x8y30?导数几何意义的综合应用解：设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2.yx4x02x.当x趋于0时，yx趋于4x0.故f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，切线的斜率为tan 451，即f(x0)4x01.解得x014.故该点坐标为14，98.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，切线的斜率为4，即
6、f(x0)4x04.解x01.故该点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，切线的斜率为8，即f(x0)4x08.解x02.故该点坐标为(2,9)【点评】解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等3求经过点(2,0)且与曲线y1x相切的直线方程解：设切点坐标为x0，1x0，则y1x0 x1x0 x0 x0 xx0 xx0 xx0 xx0.yxxxx0 xx01x20 x0 x.当x0时，yx1x20，即切线斜率k1x20.切线方
7、程为y1x01x20(xx0)切线过点(2,0)，1x01x20(2x0)解得x01.把x01代入切线方程，得y1(x1)，即xy20.1导数是在x0处附近函数值的改变量y与自变量的改变量x之比的极限，是一个局部性的概念，若yx的极限值存在，则函数yf(x)在x0处就有导数；否则就没有导数若 yx 的极限值表示的是一个定值，则函数f(x)在x0处的导数就是一个定值2x是自变量x相对于x0的改变量，所以x可正、可负，但不能为零当x0(x0)时，x0表示x0 x从右边(从左边)趋近于x0，y是相应函数值的改变量，y可正、可负，也可以为零3求切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f
8、(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0)4(1)函数在某点可导是曲线在该点处存在切线的充分条件，而不是必要条件因此，求曲线上某点处的切线方程时，若这点导数不存在，则可用定义求切线方程(2)求已知曲线过某点的切线时，要先确定该点是否为切点，切忌盲目套用公式若该点是切点，则可以直接求出导数，即切线斜率；若该点不是切点，则可设切点坐标为(x0，y0)，联立kf(x0)及y0f(x0)，解方程组，求出x0，y0.(3)注意语言的严密性，“曲线C在xx0处的切线”“曲线C在点(x0，y0)处的切线”与“曲线C过点(x0，y0)的切线”的含义不同.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二)谢谢观看！
