1、第十二节 导数的综合应用教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题2会利用导数解决实际问题.考查导数在研究函数中的应用，应用导数探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大.基础梳理1利用导数证明不等式若证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)2利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问
2、题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题3研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等4用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决5给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可6函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质7没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质三基自测1(选修
3、 113.3 教材改编)下列说法正确的是()A如果函数在某一范围内导数值较大，那么函数在这个范围内变化得快B如果函数在某一范围内导数值较小，那么函数在这个范围内变化得快C如果函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快D如果函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么函数在这个范围内变化得快答案：C2(选修 113.3 练习改编)已知函数 f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续，且 f(x)0；当 x(32 3，32 3)时，f(x)0，所以 f(x)0 等价于x3x2x13a0.设 g(x)x3x2x13a，则 g(x)x2x22x3x2x12 0，当且仅当 x
4、0 时，g(x)0，所以 g(x)在(，)单调递增故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6a22a136a162160，故 f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点名师点拨 用导数研究函数零点及方程根的步骤(1)确定 f(x)的单调性(2)分离参数 m 并构造函数(x)(3)研究(x)的最值及单调变化(4)结合图象讨论零点(5)转化不等式恒成立(6)分离参数求函数最值跟踪训练(2018池州模拟)已知函数 f(x)x2(1)n2aln x(nZ，a0)(1)求函数 f(x)的极值；(2)若 n2 016，且函数 y2axf(x)有唯一零点 x0，求 x0 与
5、 a.解析：(1)f(x)x2(1)n2aln x 的定义域为(0，)，f(x)2x1n2ax.n 为奇数时，f(x)2x2ax 0，函数在(0，)上单调递增，无极值；n 为偶数时，令 f(x)2x2ax 0，则 x(0，a)时，f(x)0；x(a，)时，f(x)0，函数 f(x)无极大值，有极小值 f(a)aaln a.(2)n2 016，若函数 y2axf(x)有唯一零点，即 g(x)x22ax2aln x0 有唯一解令 g(x)0，得 x2axa0，a0，x0，x1a a24a2，当 x(0，x1)时，g(x)0，g(x)在(0，x1)上是单调递减函数；当 x(x1，)时，g(x)0，g
6、(x)在(x1，)上是单调递增函数当 xx1 时，g(x1)0，g(x)ming(x1)，g(x)0 有唯一解，g(x0)g(x1)0.即 x20ax0a0，x202ax02aln x00，两式相加得 2aln x0ax0a0，a0，2ln x0 x010.设函数 h(x)2ln xx1，在 x0 时，h(x)是增函数，h(x)0 至多有一解h(1)0，方程的解为 x01，即a a24a21，解得 a12.考点二|利用导数研究不等式问题(思维突破)【例 2】已知函数 f(x)ln xx122.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时，f(x)x1；(3)确定实数 k 的所
7、有可能取值，使得存在 x01，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1)解析(1)f(x)1xx1x2x1x，x(0，)由 f(x)0 得x2x10.解得 0 x1 52.故 f(x)的单调递增区间是0，1 52.(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)则 F(x)1x2x.当 x(1，)时，F(x)0，所以 F(x)在1，)上单调递减，故当 x1 时，F(x)F(1)0，即当 x1 时，f(x)x1.(3)由(2)知，当 k1 时，不存在 x01 满足题意当 k1 时，对于 x1，有 f(x)x1k(x1)，则 f(x)k(x1)，从而不存在 x01 满足题意当 k1 时，令
8、 G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则 G(x)1xx1kx21kx1x.由 G(x)0，得x2(1k)x10.解得 x11k 1k2420，x21k 1k2421.当 x(1，x2)时，G(x)0，故 G(x)在1，x2)内单调递增从而当 x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即 f(x)k(x1)，综上，k 的取值范围是(，1)名师点拨 1.利用导数证明不等式的方法证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)
9、g(x)2利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题跟踪训练(2017高考全国卷)已知函数 f(x)x1aln x.(1)若 f(x)0，求 a 的值；(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n，112 1 122 1 12n m，求 m 的最小值解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，若 a0，因为 f12 12aln 20，由 f(x)1axxax 知，当 x(0，a)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单
10、调递增故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一极小值点，也是最小值点因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1.(2)由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0.令 x1 12n，得 ln 1 12n 12n，从而 ln 112 ln 1 122 ln 1 12n 12 122 12n1 12n1.故112 1 122 1 12n 2，所以 m 的最小值为 3.考点三|利用导数求解生活中的优化问题(方法突破)【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为643 立方米假设该容器的建造费用仅
11、与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元(1)将 y 表示成 r 的函数 f(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 f(r)的单调性，并确定 r 和 l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解析(1)因为容器的体积为643 立方米，所以4r33 r2l643，解得 l643r243r，所以圆柱的侧面积为 2rl2r643r243r 1283r 8r23，两端两个半球的表面积之和为 4r2，所以 yf(r)1283r 8r2334r24128r 8r2.又 l643r243r0r432，所以定
12、义域为(0,432)(2)因为 y128r2 16r16r38r2，所以令 y0，得 2r243；令 y0，得 0r2.当 r(2,243)时，f(r)为增函数，当 r(0,2)时，f(r)为减函数，所以当 r2，l83时，该容器的建造费用最小为 96 千元名师点拨 利用导数求解生活中优化问题的方法(1)审条件：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)重点是利用圆柱及球的表面积公式(2)审解题：审出求解函数的什么问题及求解方法求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0.比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者
13、为最大(小)值(3)审结论：回归实际问题，结合实际问题作答跟踪训练 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)由 h0，r0，可得 0r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大