1、第三节 三角函数的图象与性质教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象2了解三角函数的周期性，理解正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等)，理解正切函数在区间2，2 的单调性.三角函数的图象与性质在高考中几乎年年考查，主要考查三角函数的图象、性质，多以小题形式出现，分值一般为5分，属中低档题.基础梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，_，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象上，
2、五个关键点是：(0,1)，2，0，32，0，(2，1)32，1(，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR，且 xk2值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数奇函数偶函数单调性2k2，2k2 为增；2k2，2k32 为减2k，2k为减；2k，2k为增k2，k2 为增对称中心k2，0k2，0对称轴(k，0)xk2xk 3.周期函数(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个，使得当 x 取内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数，叫作这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f
3、(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫作 f(x)的最小正周期非零常数T定义域非零常数T最小的正数最小正数三基自测1(必修 41.4 练习改编)函数 y12sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在2，2 上是增函数，在，2 和2，上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在2，和，2 上是增函数，在2，2 上是减函数答案：B2(必修 41.4.3 练习改编)函数 ytan 2x 的定义域是()A.xxk4，kZB.xxk2 8，kZC.xxk8，kZD.xxk2 4，kZ答案：D3(必修 41.4.2 练习改编)函数 f(x)42cos13x 的最小值是
4、_，取得最小值时，x 的取值集合为_答案：2 x|x6k，kZ4(必修 4习题 1.4B 组改编)函数 y2cos x3(xR)的最小正周期为_答案：6考点一|与三角函数有关的函数的定义域及简单方程不等式(思维突破)【例 1】(1)函数 ycos x 32 的定义域为()A.6，6 B.k6，k6，kZC.2k6，2k6，kZDR(2)定义在区间0，2 上的函数 y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 ysin x 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_解析(1)cos x 32 0，得 cos x 32，2
5、k6x2k6，kZ.(2)由 6cos x5tan x 得 cos2x56sin x，又cos2xsin2x1，sin2x56sin x10，sin x23，P1P223.答案(1)C(2)23名师点拨 1.三角方程、不等式的思维方法(1)由同角三角函数关系、诱导公式转化为关于 sin x 或 cos x 的方程、不等式(2)根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的 x 的值或范围(3)解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围，再加上周期2三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解跟踪训练(1)在本例(2)中 PP1 及 PP2
6、 的长分别为多少？解析：由本题解答可知 sin x23，cos2x562359，cos x 53，x0，2，PP16cos x2 5，PP26cos xsin x2 523.(2)(2018衡水中学二调)函数 y sin xcos x的定义域为_解析：方法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦，余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k4 x2k54，kZ.方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示
7、)，定义域为x2k4x2k54，kZ.方法三 sin xcos x 2sinx4 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx42k，kZ，解得 2k4x2k54，kZ.所以定义域为x2k4x2k54，kZ.答案：x2k4x2k54，kZ考点二|与三角函数有关的值域、最值问题(方法突破)方法 1 直接利用 sin x，cos x 的值域【例 2】(1)函数 y2sin x1，x76，136 的值域是()A3,1 B.2,1C(3,1 D.(2,1(2)函数 y2sin(cos x)(xR)的值域为_解析(1)x76，136 ，1sin x12，12sin x2，20)在区间0，23 上单调递减，则有23 T2，即 T43，所以 T243，解得 32.所以 的值可以是12，故选 A.答案：A
