1、东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。一、单项选择题：本
2、题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1命题“”的否定是（ ）A B C D2若椭圆的右焦点为F，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长为（ ）ABC6 D83不等式的解集是（ ）A B C或 D或4下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则5在中，已知，则（ ）A BCD6在等差数列中，为前项和，则ABCD7“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高
3、忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30，沿直线前进米到达点，此时看点的仰角为45，若，则楼高约为（ ）A92米B83米C74米D65米8从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分9下面命题正确的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B在中，“”是“”的充要条件C设，则“
4、且”是“”的必要而不充分条件D设，则“”是“”的必要不充分条件10已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD11数列满足，则下列说法正确的是（ ）A数列是等差数列B数列的前n项和C数列的通项公式为D数列为递减数列12已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（ ）A B为等腰直角三角形C直线的斜率为 D线段的长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13抛物线的准线方程为_. 14都成立.则的取值范围是_15已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则椭圆离心率是_16阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作圆锥曲线论
5、是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为_.四、解答题：本题共6小题，共70 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17( 本小题满分10分）已知命题实数满足，其中；命题方程表示双曲线.（1）当时，若命题为真，且命题为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18( 本小题满分12分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题在中，内角，的对边分别为，设的面积为，已知_.（
6、注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）（1）求角的大小；（2）已知，点在边上，且为的平分线，求的面积19( 本小题满分12分）已知抛物线的焦点上一点到焦点的距离为.（1）求的方程；（2）过作直线，交于两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.20( 本小题满分12分）年月日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经年规划，年建设，总长约公里，总投资约亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会。据市场调查，当每张门票售价定为元时
7、，销售量可达到万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为元时，旅游公司获得的总利润为万元.（每张门票的销售利润售价供货价格）.（1）求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.21( 本小题满分12分）设数列的前n项和为，且满足，数列满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：；22( 本小题满分12分）已知定点，圆，点为圆上
8、动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.第 12 页 共 4 页高二数学东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题答案一、单选题 CBCB AADB二、 多选题 AD BC ABD ACD三、 填空题 13. 14 15. 16四、解答题17由，得，.1分因为，所以，即命题: .2分由方程表示双曲线，可得：解得，即命题：.3分（1）若，则命题： ，因为命题和均为真命题，所以，所以，所以符合题意的的取值范围为：.5分 （注：先将代入求解的给相应分数）（2）由是的必要不充分条件，则
9、有：但， 所以，即.7分所以，解得.8分经检验和满足条件.9分 所以实数的取值范围是.10分18解：（1）若选：， 则，.2分化简得，.3分 .5分 .6分若选：，则由正弦定理得，.1分即，.2分 ，.3分.4分 ，.5分 则.6分若选：，则有，.2分化简得，.3分 .4分所以，.5分 故.6分（2），.8分且，.10分 .12分19（1）抛物线: 的准线方程为.1分由抛物线的定义可知 解得3分 的方程为.4分（2）法一：由（1）得抛物线C的方程为，焦点设两点的坐标分别为， 则.6分两式相减。整理得.8分线段中点的纵坐标为 直线的斜率10分直线的方程为即12分法二：由（1）得抛物线的方程为，焦
10、点 设直线的方程为.5分由 消去，得.7分设两点的坐标分别为，线段中点的纵坐标为 解得10分 直线的方程为即12分20解：（1）每张门票售价定为元时，销售量为5(万张)，.1分令每张门票的浮动价格元 则每张门票供货价格为(元)，.2分故旅游公司所获总利润为(万元). 比例系数.3分.5分（不写定义域扣一分）（2）由（1）知 .8分 .9分当且仅当（元）时取得“=”号.10分， .11分因此，每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元.12分21（1）时，解得，.1分时， 整理得，.2分是首项为1，公比为的对比数列， ，.3分， ，则，（，3，）.将这个等式相加，.4
11、分得，.5分又，；.6分（2）证明：.7分.而得.9分.11分 ；.12分22 （1）由中垂线的性质得， ，.1分所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，.2分设曲线的方程为，则，因此，曲线的方程为:；.3分（2） 由题意知直线的斜率不为，故可设的方程为，联立方程得，.4分设、，则由根与系数关系有，.5分所以，.6分同理，.7分 与的距离为，.8分所以，四边形的面积为，.9分令，则，得，.10分由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，所以，函数在上为减函数，.11分当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.12分（注：能说出对勾函数或者基本不等式不能取等号，最后得到答案都可以给相应步骤分数）