1、第4讲 平面向量的应用举例 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，为实数.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0_.(3)求夹角问题，利用夹角公式：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角).x1
2、x2y1y202.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.1.如图 4-4-1，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()图 4-4-1A.P1P2 P1P3B.P1P2 P1P4 C.P1P2 P1P5D.P1P2
3、P1P6 A2.如图 4-4-2，已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 CD 的中点，则AEBD()图 4-4-2A.1 B.3C.5D.7 3.(2014 年新课标)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.A904.已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为CD的中点，则AEBD _.解析：方法一，如图 D29，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2).图 D29答案：2AE(1,2)，BD(2,2).AEBD 1
4、(2)222.方法二，由题意，知AEBD(AD DE)(AD AB)AD 12AB(AD AB)AD2 12AD AB12AB2 4022.考点 1 平面向量在平面几何中的应用例 1：(1)(2017 年天津)在ABC 中，A60，AB3，AC2.若BD 2DC，AEACAB(R)，且AD AE4，则 的值为_.解析：ABAC 32cos 603，AD 13AB 23AC，则AD AE13AB23AC ACAB 3323 41392334.解得 311.答案：311(2)(2016 年天津)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点
5、F，使得DE2EF，则AFBC的值为()A.58B.18C.14D.118 答案：B解析：设BAa，BCb，DE 12AC12(ba).DF 32DE 34(ba).AFAD DF 12a34(ba)54a34b.AFBC54ab34b2583418.故选 B.(3)(2018 年天津)如图 4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边 CD图 4-4-3A.2116B.32C.2516D.3上的动点，则AEBE的最小值为()解析：建立如图 D30 所示的平面直角坐标系.则 A0，12，B32，0，C0，32，D 32，0.点 E 在 C
6、D 上，则DE DC 01.设 Ex，y，则x 32，y 32，32.即x 32 32，y32.E32 32，32.AE32 32，3212，BE32 3，32.由数量积的坐标运算法则，可得：AEBE32 32 32 3 3212 32，整理，可得AEBE34(4222)(01).答案：A结合二次函数的性质可知，当 14时，AEBE取得最小值2116.故选 A.图 D30(4)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD()A.32a2B.34a2C.34a2D.32a2答案：D解析：因为BD CD BD BABABC BABA2 BCBAa2a2cos 60
7、32a2.故选 D.(5)在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，E 为 CD 的中点，则A.8B.10C.12D.14AEAC()解析：方法一，(转化法)注意到菱形的对角线 ACBD.故用AC，BD 表示AE.由题意，知AEACCEAC12CD AC14(BD AC)34AC14BD.AEAC34AC14BD AC34|AC|214BD AC34|AC|212.故选 C.方法二，(坐标化)如图 D31，建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，C(2,0).不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a).答案：CAE(3，a)，AC(4,0).AEAC(3，a)(4,0)12.故选 C.图 D31【规律
8、方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系.建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.考点 2 平面向量在解析几何中的应用例 2：(1)(2017 年北京)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_.答案：6解析：设 Px0，y0，AO AP2，0 x02，y0 2x04.由 x20y201，得1x01.所以 2x046，即AO
9、 AP的最大值为 6.(2)(2017 年新课标)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若APABAD，则 的最大值为()A.3 B.2 2C.5D.2解析：如图 D32，建立平面直角坐标系，则 A(0,1)，B(0，0)，C(2,0)，D(2,1).设 P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径 r 25，即圆的方程为(x2)2y245.图 D32AP(x，y1)，AB(0，1)，AD(2,0).若满足APABAD，则x2，y1.即x2，1y.x21y.答案：A令 zx2y1，即x2y1z0，因为点 P(x，y)在圆(x2)2y245上，所以
10、圆心(2,0)到直线的距离 dr，即2z114 25.解得 1z3.故选 A.(3)抛物线 x26y 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，点 P 为 x 轴正半轴上任意一点，则(OP PM)(PO PN)()A.274B.94C.274D.94 答案：A解析：设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，可得 x1x29，y1y294，(OP PM)(PO PN)OM NO(x1x2y1y2)274.(4)(2018 年河南中原名校质量考评)已知 AB 是圆 C：(x1)2y21 的直径，点 P 为直线 xy10 上任意一点，则PAPB的最
11、小值是()A.1 B.0C.2D.21答案：A解析：(1)PAPCCA，PBPCCBPCCA，PAPB(PCCA)(PCCA)|PC|2|CA|2|PC|21.又|PC|的最小值为 C(1,0)到直线 l：xy10 的距离.|PC|min|101|2 2.PAPB的最小值为 1.图 4-4-4(5)(2016 年上海)如图 4-4-4，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0，1)，P 是曲线 y 1x2上一个动点，则OP BA的取值范围是_.解析：由题意，设 P(cos，sin)，则OP(cos，sin).又BA(1,1)，所以OP BAcos sin 2sin4 1，2.答案：1，2【规
12、律方法】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.难点突破利用数形结合的思想求最值例题：(1)(2018 年浙江)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为3，向量 b 满足 b24eb30，则|ab|的最小值是()A.31 B.31C.2 D.2 3答案：A解析：设 a(x，y)，b(m，n)，e(1,0)，则由a，e3，得 ae|a|e|cos 3，x12 x2y2，y 3x.由 b24
13、eb30，得 m2n24m30，(m2)2n21.因此|ab|的最小值为圆心(2,0)到直线 y 3x 的距离2 32 3减去半径 1，为 31.故选 A.(2)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1B.2C.2D.22解析：方法一，直接设出向量的直角坐标，把问题转化为坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决.设 a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则(ac)(bc)0，即(1x,y)(x,1y)0,即 x2y2xy0,即x122y12212.这是一个圆心坐标为12，12，半径为 22 的圆.所求的问题等价于这个
14、圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，最大距离是2，即所求的最大值为 2.故选 C.图 4-4-5方法二，因为|a|b|1，ab0，展开(ac)(bc)0 后，得|c|2c(ab).由于 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故|ab|2.设ab，c，则|c|2c(ab)|c|ab|cos.当|c|0 时，|c|ab|cos 2cos 2，故|c|的最大值是 2.故选 C.方法三，如图 4-4-5，OA a，OB b，OC c，且|OA|OB|1.答案：Cab，|AB|2.由(ac)(bc)0，知(ac)(bc)，即 CACB.O，A，C，B 四点共圆.当 OC 为直径时|c|最大，为 2.故选 C.【互动探究】在直角梯形 ABCD 中，CBCD，ADBC，ABD 是边长为 2 的正三角形，P 是平面上的动点，|CP|1，设APAD AB(，R)，则 的最大值为_.解析：如图 D33，建立平面直角坐标系，图 D33C(0,0)，B(1,0)，A(2，3)，D(0，3)，P(x，y).又|CP|1，则 x2y21.设 xcos，ysin，由APAD AB，得(cos 2，sin 3)(2,0)(1，3).1sin 3，1212cos sin 2 3，3212cos sin 2 332 33 sin().()max32 33 92 36.答案：92 36
