1、高二年级12月月考数学试卷一.选择题（每小题5分，共12小题60分）1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B【解析】试题分析：将直线方程化为：与平行，所以，所以所求两条平行直线间的距离为：，故答案为B.考点：1.两条直线平行；2.两条平行直线间的距离.2.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要
2、考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.3.已知命题，则的（ ）A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 必要不充分条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：.故A正确.考点：命题及充分必要条件.4.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质5.已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】
3、A【解析】试题分析：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得，整理得弦所在的直线的斜率为，其方程为y-2=（x+1），整理得故选A考点：椭圆中点弦问题;直线方程的求法6.某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A. 4B. C. D. 20【答案】B【解析】由题可得，该几何体是一个底面为边长为2的正三角形，高为2的三棱柱.其外接球的半径为，所以该外接球的表面积为.本题选择B选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚
4、线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑7.分别过+=1（ab0）的左、右焦点F1、F2作的两条互相垂直的直线l1、l2，若l1与l2的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|cb，从而可求椭圆离心率e的取值范围【详解】由题意可知椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|cb，所以c2b2a2c2，e故选D【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消
5、掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8.椭圆：的左右顶点分别为，点是上异于，的任意一点，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由椭圆的性质求得顶点坐标，设出点P的坐标，化简斜率的表达式，再利用已知条件，即可求解.【详解】由椭圆，可得，所以，设，则，且，所以，把代入上式，可得，又因为直线斜率的取值范围是，所以直线斜率的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线的斜率公式等基础知识的应用，着重考查了函数与方程思想，以及运
6、算能力，属于基础题.9.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接交于点，连接，证得平面，得到即为直线与平面所成角，结合题设条件，即可求解.【详解】由题意，连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，所以平面，所以平面，连接，则即为直线与平面所成角，又因为，所以，所以，又由，所以.故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与平面所成角的求解，其中解答中结合直线与平面所成的角的定义，得到即为直线与平面所成角是解答本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.10.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直
7、线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条.故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点
8、，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由为的中点，得到，进而得到，又由直角中，根据勾股定理，求得，得到，再由离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，记右焦点为，则为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，所以,因为为切点，所以，所以，因为点在双曲线上，所以，所以，直角中，得，即，因为，可得，所以，所以离心率.故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，圆的方程等基础知识的综合应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及合理利用圆的性质，结合直角三角形的勾股定理，求得是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算求解能力，属于中档试题.1
9、2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】D【解析】轴，在轴上的截距为1，则，则 ， ， ， ，.选D .二.填空题（每小题5分，共4小题20分）13.写出命题“，使得”的否定形式是 【答案】，使得【解析】试题分析：题目中所给命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以是：，使得.考点：本小题注意考查特称命题的否定.点评：解决含有一个量词的命题的否定问题时要注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，注意符号不要写错.14.设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上若点到焦点F1
10、的距离等于，则点到焦点F2的距离等于_【答案】17【解析】因为是双曲线的两焦点，所以.因为点P到焦点的距离等于9，即，则解得或17，又因为焦半径最小值为，所以15.设为曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】设，得到，代入双曲线的方程，即可求得点的轨迹方程.【详解】设，因为为坐标原点，为线段的中点，可得，代入双曲线的方程，可得，整理得，即点的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用代入法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知是抛物线上的动点，点是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小
11、值是_【答案】3.【解析】根据抛物线的定义，可知，而的最小值是，所以的最小值就是的最小值，当三点共线时，此时最小，最小值是 ，所以的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.三.解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹
12、方程.【答案】【解析】【分析】设动圆与圆及圆分别外切于点和，根据两圆外切的条件和，得到，再结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意，设动圆与圆及圆分别外切于点和，根据两圆外切的条件，得，因为，所以，即，即动点与两定点.距离的差是常数2，根据双曲线的定义，可得动点的轨迹为双曲线的左支（点与的距离大，与的距离小），其中，则，所以点的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.命题p：方程有实数解，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆若命题p为真，求m
13、取值范围；若命题为真，求m的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】直接利用一元二次方程有解的条件求出结果利用真值表和椭圆的方程的性质的应用求出结果【详解】命题p：方程有实数解，由于命题p为真，则：，解得：命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆由于命题为真，所以：p真q真，故：，解得：，故，即：【点睛】本题考查的知识要点：真值表的应用，椭圆的定义和方程的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19.已知圆，直线.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）圆
14、的圆心半径，由直线与圆相切，利用点到直线距离公式列出方程，能求出的值（2）直线与圆相交于、两点，且时，再由圆心到直线的距离，列出方程，求出，由此能求出直线方程【详解】解：将圆C方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离等于2，即：，； （2）直线l与圆C相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，而，即，或7. 故所求直线方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长以及直线方程和点到直线的距离公式的应用，同时考查学生运算求解能力20.如图，在三棱柱中，侧面底面，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见
15、证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证，从而得到平面.（2）可证平面，从而得到平面平面.【详解】（1）取的中点，连接， 在中，因为，分别为，的中点，所以，且，在三棱柱中，又为棱的中点，所以且，从而四边形为平行四边形，于是，又因为面，面，所以平面.（2）证明：在中，因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，且面，所以平面，又面，所以平面平面.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.面面垂直的判定可由线面垂直得到，而
16、线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.21.已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.（1）求抛物线方程；（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为可得 解得，从而可得抛物线的方程；（2）先讨论直线斜率不存在时的情况，当斜率存在时，设直线方程为联立，消去得 ，根据韦达定理、平面向量数量积公式以及弦长公式、点到直线距离公式与三角形面积公式可求得的面积.试题解析：（1）依题意： 解得，所以抛物线方程为 （2
17、）依题意：若直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；所以设直线方程为联立，消去得 所以又因为以为直径的圆过坐标原点，所以，所以 解得，由，点到直线的距离为所以22.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程.（2）过定点的直线与椭圆交于两点.（线不经过点），直线，的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据题设条件，列出方程组，求得 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，再结合斜率公式，代入化简，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，且经过点，可知，解得，故椭圆的方程为.（2）设过定点的直线的方程为，联立方程组，整理得，由，解得且，且，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
