1、9.4向量应用学 习 任 务核 心 素 养1会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题2会用向量方法解决某些简单的几何问题(重点、难点)通过学习向量的应用，提升数学建模和数学运算核心素养1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量的哪些知识？2 物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？知识点向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算
2、，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ABC是直角三角形，则有0()(2)若，则直线AB与CD平行()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多()提示(1)可能0或0，故
3、错误(2)，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误(3)WFs|F|s|cos ，故错误答案(1)(2)(3)2已知ACB，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案A3已知F(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为_答案4 类型1向量在物理中的应用【例1】(对接教材P38例1)如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小解如图，作平行四边形OACB，使AOC30，BOC60在OAC中，ACOBOC60
4、，OAC90|cos 30300150(N)，|sin 30300150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N1解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型跟进训练1已知两恒力F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)(1)求F1，F2分别对质点所做的功(J)；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功(J)解(1)(13，15)，W1F1(3，4)(13
5、，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)力F1，F2对质点所做的功分别为99 J和3 J(2)WF(F1F2)(3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)合力F对质点所做的功为102 J 类型2向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE解法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20，故，即AFDE法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，
6、E(1，0)，F(2，1)，(2，1)，(1，2)因为(2，1)(1，2)220，所以，即AFDE向量法证明平面几何问题的方法(1)向量的线性运算法(2)向量的坐标运算法但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用跟进训练2已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P求证：(1)BECF；(2)APAB证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)(1)(1，2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即BECF(2)设点P坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，
7、即x2y2，同理，由，得y2x4，由得点P的坐标为|2|，即APAB 类型3平面向量的综合应用【例3】已知在RtABC中，C90，9，tan A，P为线段AB上的点，且xy，则xy的最大值为_3在RtABC中，由9，得ABACcos A9，因为RtABC中，C90，tan A， 所以cos A，所以ABAC15，所以AB5，AC3，BC4又P为线段AB上的点，且，故12，即xy3，当且仅当， 即x，y2时取等号利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.跟进训练3 在梯形ABCD中，ABCD，
8、CD1，ABBC2，BCD120，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且，则的最大值为()A2 B C DD因为ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以ABCD是直角梯形，作CMAB交AB于M点，则CM，BCM30，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则，B(2，0)，P(2，)，Q，所以 (2，)54令f()54且，由对勾函数性质可知，当1时可取得最大值，则f()maxf(1)541若3a，5a，且|，则四边形ABCD是()A平行四边形 B菱形C等腰梯形 D直角梯形C因为3a，5a，所以，|又|，所以四边形A
9、BCD是等腰梯形，故选C2力F(1，5)作用于质点m，使m产生的位移s(4，6)，则力F对质点m做的功是()A34 B26 C34 D26CWFs(1，5)(4，6)34，力F对m所做的功是343两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 N C20 N D10 NB设F1，F2夹角为90时合力为F0，由平行四边形法则可知，|F1|F2|F0|cos 4510 N当F1和F2的夹角为120时，由平行四边形法则知合力|F|10 N，故选B4在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2，2)若ABO90，则实数t的取值为_5(3，2t)，由题意知0，所以232(2t)0，解得t55在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_4如图所示，由于(3，1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3，1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4回顾本节知识，自我完成以下问题：1应用平面向量可以解决平面几何中的哪些问题？提示平行、垂直、夹角、距离等问题2应用平面向量可以解决物理中的哪些问题？提示力的合成与分解，速度的合成与分解，做功问题等等
