1、第7章 解析集合初步 7.2 直线的方程7.2.2 两条直线的位置关系1能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2理解直线相交、平行、重合、垂直的意义,会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直(重点)3会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直(重点、难点)1要求两条直线的公共点,只要求它们的方程的_2直线位置关系的判断:(1)可以通过解方程组来判断两条直线相交、平行还是重合方程组有_,则两条直线相交;_,则两条直线平行;有多于一个的解,则两条直线_(2)另一种方法是由两条直线的_来判断它们的位置关系,不但能判断它们是否相交、平行、重合,还能够判断它们是否垂直公共解唯
2、一解无解重合方向(3)直接通过系数的关系判断设直线分别是:l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,位置关系判定方法重合存在实数_,使A2A1,B2B1,C2C1.平行存在实数 0,使A2A1,B2B1,C2C1.相交_.垂直_.0A1B2A2B10A1A2B1B201如何利用方程来判断两条直线的位置关系?提示:将两条直线的方程联立得方程组,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标,若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.3.两直线的夹角 的余弦cos|A1A2B1B2|A21B21 A22B22.2直线的夹角与向量的夹角有何区别?提示:直线的夹角的范围为0,
3、2,而向量的夹角的范围为0,.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点(1)l1:2xy70和l2:3x2y70;(2)l1:2x6y40和l2:4x12y80;(3)l1:4x2y40和l2:y2x3.判断两直线是否相交解:(1)方程组2xy70,3x2y70的解为x3,y1,因此直线 l1 和 l2 相交,交点坐标为(3,1)(2)方程组2x6y40,4x12y80有无数组解,表明直线 l1 和 l2重合(3)方程组4x2y40,2xy30,无解,表明直线 l1 和 l2 没有公共点,故 l1l2.方程组有一解,说明两直线相交;方程组没有解说明两直线没有公共点,即两直线平行;方程组
4、有无数个解说明两直线重合1判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标(1)5x4y20,2xy20;(2)2x6y30,y13x12.解:(1)解方程组5x4y20,2xy20,得该方程组有唯一解x103,y143.所以两直线相交,且交点坐标为103,143.(2)解方程组2x6y30,y13x12,6 得 2x6y30,因此,和可以化成同一个方程,即和有无数组解,所以两直线重合a为何值时,直线(a1)x2y40与xay10.(1)平行?(2)垂直?两直线的位置关系解:(1)若两直线平行,则存在实数 0,使得1a1a2,14解得a2114或a112.14当 a2 或 a1 时,两
5、直线平行(2)若两直线垂直,则有(a1)1(2)(a)0,解之得 a13.当 a13时,两直线垂直两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B10,且B1C2B2C10;l1l2A1A2B1B20;(2)也可利用法向量来直接求解2.已知两条直线l1:xmy60,l2:(m2)x3y2m0.当m取何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解:l1的法向量为n1(1,m),l2的法向量为n2(m2,3)(1)若l1与l2相交,则n1与n2不平行 3m(m2)0,即m3且m1.(2)若l1与l2平行,则n1n2 m(m2)30,m3或m1.经检
6、验,当m3时重合,当m1时,平行(3)若l1与l2垂直,则(m2)m30,m12.m12时,两直线垂直求直线l1:2x3y30与l2:3x4y20的夹角的余弦值求两直线夹角的余弦值解:直线 l1 和 l2 的法向量分别为n1(2,3)和 n2(3,4)l1 与 l2 的夹角的余弦值为:cos|cosn1,n2|2334|2232 324265 136 1365.求两直线的夹角,先确定两直线的法向量,再利用公式去求解3求直线l1:2xy30和l2:x2y10的夹角的余弦值解:l1 和 l2 的法向量分别为 n1(2,1),n2(1,2),则 cos|cos|2112|221 122245.1利用法向量判定两直线的位置关系时,如果两直线的法向量平行,一定要验证,因为可能出现平行或重合两种情况2与直线AxByC0平行的直线系方程为AxBy0(c);与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0.利用此结论解平行,垂直问题可以简化解题过程3平行与垂直是两直线间最重要的位置关系,利用平行和垂直的条件判断多边形的形状是常见的基本应用,要考虑各种情况点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十五)谢谢观看!