1、第12课 课题:直线与平面垂直的性质【学习目标】通过直观感知、操作确认、归纳出:一条直线与一个平面内两条相交直线垂直,则这条直线此平面与此平面垂直 【问题情境】1. 直线与平面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面,则这条直线垂直这个平面内的 直线。 2. 直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线 。 符号语言: 3. 如果一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做 。 4. 有关垂直的证题思路:线面垂直线线垂直。【合作探究】1. 若,则与的位置关系是 。2. 对于平面和共面的直线、n,下列命题是真命题的是 。 若,则若,则 若,则3. 设a、b是两条异面直线,
2、下列命题中正确的是 。 (1)有一平面与a,b都垂直。(2)有且仅有一条直线与a,b都垂直。(3)过直线a有且仅有一平面与b平行。(4)过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交。【交流展示】例1. 已知直线平面,求证:直线上各点到平面的距离相等例2. 已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PAAB,PAAC,M,N分别是AB,PC的中点, (1)证明:BC面PAB;(2)求证:MNAB。例3.已知中,面,求证:面【学以致用】1. 已知垂直平行四边形所在平面,若,平行则四边形一定是 .2已知正方体,是底对角线的交点.求证:()面; (2 )面 3.如图,已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD
3、=BD,BECD,E为垂足,作AHBE于H,求证:AH平面BCD4. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900 。 (1)求证:PCBC;(2)求点P到平面PBC的距离。参考答案1.菱形2. 证明:(1)连接A1C1,设A1C1B1D1=O1,连接AO1,ABCDA1B1C1D1是正方体,A1ACC1是平行四边形,A1C1AC且A1C1=AC,又O1,O分别是A1C1,AC的中点,O1C1AO且O1C1=AO,AOC1O是平行四边形,C1OAO1,AO1面AB1D1,C1O面AB1D1;(2)CC1面A1B1C1D1CC1B1D1
4、,又A1C1B1D1,B1D1面A1C1C,即A1CB1D1,A1BAB1,BCAB1,又A1BBC=B,A1B平面A1BC,又A1C?平面A1BC,A1CAB1,又D1B1AB1=B1,A1C面AB1D13. 解:如图,取AB中点F,连接CF,DF;BC=AC,AD=BD,ABCF,ABDF,CFDF=F;AB平面CDF,CD平面CDF;CDAB,CDBE,BEAB=B;CD平面ABE,AH平面ABE;CDAH,即AHCD,又AHBE,BECD=E;AH平面BCD4. :(1)证明:因为PD平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PDBC由BCD=90 0 ,得CDBC,又PD DC=D,PD、DC 平面PCD,所以BC平面PCD因为PC 平面PCD,故PCBC(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:易证DECB,DE平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由(1)知:BC平面PCD,所以平面PBC平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DFPC,所以DF平面PBC于F易知DF= ,故点A到平面PBC的距离等于 .