1、课后素养落实(五十三)球的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A B C8 DC设球的半径为R，则截面圆的半径为，截面圆的面积为S(R21)，R22，球的表面积S4R28.2设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()A cm3 B cm3C cm3 D cm3D由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为 cm3.3若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为()A21 B23 C2 D25A
2、设半球的半径为r，圆锥的高为h，则r2hr3，所以h2r，故选A.4等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()AS正方体S球 BS正方体S球CS正方体S球 D无法确定A设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得VR3a3，a，R，S正方体6a26，S球4R2.5圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示则球的半径是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cmC设球半径为r，则由3V球V水V柱，可得3r3r26r26r，解得r3.二、填空题6两个球的半径相差1，表面积之差为28，则它们的体积和为_设
3、大，小两球半径分别为R，r，则所以所以体积和为R3r3.7已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球R3，得到R，正方体体对角线的长为a2R，则a，所以正方体的棱长为.8已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_8过正方体的对角面作截面如图故球的半径r，其表面积S4()28.三、解答题9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积Vr3r2l13123.10如图，在矩形ABCD中，EF
4、AD，GHBC，BC2，AFFGBG1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积解由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2.如图所示的正三棱柱ABCA1B1C1.设上下底面的中心分别为O1，O2，则球心O为O1，O2的中点，连接OC，O2C，则O2C1，OO21，OC，即球半径R，该几何体的外接球的表面积为S4R24.11正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A B16 C9 DA如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中
5、，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为S4R24，故选A.12已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B C DB如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM. 底面圆半径r，故圆柱体积Vr2h1.13已知三棱锥ABCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_3如图，构造正方体ANDMFBEC.因为三棱锥ABCD的所有棱长都为，所以正方体ANDMFBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥ABCD的外接球就是正方体ANDMFBEC的外接球，所以三棱锥ABCD的外
6、接球的半径为.所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为S球43.14如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为_连接BC1，与B1C交于点O，则O为平面BCC1B1的中心由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC1为截面圆的直径，所以BAC90，则ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R为球的半径)，所以1，即x，即ABAC1，所以侧面ABB1A1的面积为1.15有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是Vhh3，由VV，得hr.即容器中水的深度为r.- 5 -
