1、第一章 不等关系与基本不等式2 含有绝对值的不等式 21 绝对值不等式学习目标重点难点1.了解定理|ab|a|b|的代数证明和几何证明2理解定理|ab|a|b|及不等式|ab|ac|cb|取等号的条件及几何意义.1.重点是掌握绝对值不等式定理2难点是利用绝对值不等式定理证明绝对值不等式.阅读教材P6P7“绝对值不等式”的有关内容，完成下列问题：1绝对值的几何意义设a是任意一个实数，在数轴上：(1)|a|表示_的距离；(2)|xa|表示_的距离；(3)|xa|表示_的距离实数a对应的点与原点O之间 实数x对应的点与实数a对应的点之间 实数xa对应的点之间 在数轴上把a，b，ab表示出来(分ab0
2、，ab0两种情况)解：(1)当ab0时(如图所示)；(2)当ab0时(如图所示)2绝对值不等式定理对任意实数a和b，有|ab|_，当且仅当ab0时，等号成立|a|b|1|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有怎样的大小关系？提示：|a|b|ab|a|b|.3绝对值不等式的常用结论(1)设a，b是任意实数，有|a|b|ab|，当且仅当ab0时，等号成立(2)对任意实数a，b，c，有|ab|ac|cb|，当且仅当(ac)(cb)0时，等号成立2不等式|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右侧等号成立的条件是ab0，左侧等号成立的条件是ab0且|a
3、|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧等号成立的条件是ab0，左侧等号成立的条件是ab0且|a|b|.绝对值不等式的证明证明：依题意，得m|a|，m|b|，m1.|x|m，|x|a|，|x|b|，|x|1.|x|2|b|.设 m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|m 时，求证：axbx2 2.axbx2 ax bx2|a|x|b|x2|x|x|x|2|x2|2.故原不等式成立【点评】含绝对值不等式的证明，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值不等式定理|a|b|ab|a|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项、减项，使待
4、证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明1已知|x|a4，|y|a6，求证：|2x3y|a.证明：|x|a4，|y|a6，|2x|a2，|3y|a2.|2x3y|2x|3y|a2a2a.故原不等式成立利用绝对值不等式定理求含绝对值的函数的最值求函数y|x3|x1|的最大值和最小值解：法一|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.法二 把函数看成分段函数y|x3|x1|4，x1，22x，1x3，4，x3.4y4.ymax4，ymin4.【点评】求函数y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法如下：(1)借助绝对值的定义，即零点分段(2)
5、利用绝对值的几何意义(3)利用绝对值不等式定理|a|b|ab|a|b|直接求解2求函数y|x3|x1|的最小值解：法一|x3|x1|3x|x1|(3x)(x1)|4，当且仅当(3x)(x1)0时，等号成立由(3x)(x1)0，得(x3)(x1)0.1x3.故当1x3时，函数y|x3|x1|取得最小值4.法二 由绝对值的定义，得当 x3 时，|x3|x1|(x3)(x1)2x2；当1x3 时，|x3|x1|(3x)(x1)4；当 x1 时，|x3|x1|(3x)(x1)22x，即 y|x3|x1|2x2，x3，4，1x3，22x，x1.画出该函数的图像，如图所示由图像可得 y4.当1x3 时，y
6、 取得最小值 4.若关于x的不等式a|x4|x3|恒成立，则实数a的取值范围是_.解析：|x4|x3|(x4)(x3)|7，a2.故实数a的取值范围是(2，)答案：(1)(，5(2)(2，)1证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用绝对值不等式定理|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明2研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法3关于x的不等式f(x)a恒成立f(x)maxa；关于x的不等式f(x)a恒成立f(x)mina.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二)谢谢观看！
