1、第二章 概 率本章整合提升考情分析此部分内容在高考中逐渐被淡化近年来，单独命题的情况越来越少条件概率的命题形式主要是选择题和填空题，难度中等偏易专题一 条件概率高考冲浪1(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6D0.45解析：根据条件概率公式P(B|A)PABPA 0.60.750.8答案：A2(2016全国卷改编)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下
2、：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率解：(1)设“续保人本年度的保费高于基本保费”为事件 A，P(A)1P(A)1(0.300.15)0.55(2)设“续保人保费比基本保费高出 60%”为事件 B，P(B|A)PABPA PBPA0.100.050.55 311【技法总结】条件概率的求法(1)利用定义，分别求
3、P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PABPA.这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)nABnA 考情分析相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题形式出现，与数学期望等知识结合，难度中等专题二 相互独立事件的概率高考冲浪1(2016北京卷改编)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，
4、通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：h)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率解：(1)82010040，C 班学生 40 人(2)在 A 班中取到每个人的概率相同均为15，设“A 班中取到第 i 个人”为事件 Ai，i1,2,3,4,5，“C 班中取到第 j 个人”为事件 Cj，j1,2,3,4,5,6,7,8当 A 班中取到第 i
5、 人时，C 班中取到锻炼时间短的学生的概率为 Pi，所求事件为 D，则 P(D)15P115P215P315P415P515281538153815381548382(2016山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学
6、期望 EX解：(1)记事件 A 表示“甲第一轮猜对”，记事件 B 表示“乙第一轮猜对”，记事件 C 表示“甲第二轮猜对”，记事件 D 表示“乙第二轮猜对”，记事件 E 表示“星队至少猜对 3 个成语”由题意，EABCD ABCDA BCDAB CDABCD，由事件的独立性与互斥性，P(E)P(ABCD)P(ABCD)P(A BCD)P(AB CD)P(ABC D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)3423342321423342334133423 23，所以“星队”至少
7、猜对 3 个成语的概率为23(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6由事件的独立性与互斥性，得P(X0)14131413 1144，P(X1)23413141314231413 10144 572，P(X2)34133413341314231423341314231423 25144，P(X3)3423141314133423 12144 112，P(X4)23423341334231423 60144 512，P(X6)34233423 3614414所以随机变量 X 的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望 EX0 11441
8、5722 251443 1124 512614236【技法总结】相互独立事件同时发生的概率求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解，当所求概率的事件较为复杂时，往往要分解为n个互斥事件的和，利用互斥事件的概率加法公式求解；(2)正面计算较为繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手解决考情分析此部分内容是高考重点考查的内容，几乎每个省份的高考每年都要考查题型以解答题为主，难度中等题目的综合性较强，一般综合了分布列、期望与方差，夹杂着概率的计算，甚至还综合统计的有关知识专题三 离散型随机变量的分布列、均值和方差高考冲浪1(2017天津卷)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相
9、互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1个红灯的概率解：(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3P(X0)112 113 114 14，P(X1)12113 114 112 13114 112113 141124，P(X2)112 131412113 141213114 14，P(X3)121314 124所以随机变量 X 的分布列为X0123P14112414124随机变量 X 的数学期望 EX01411124214
10、3 1241312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为11482(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求
11、量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知 P(X200)21690 0.2，P(X300)36900.4，P(X5
12、00)2574900.4因此 X 的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n因此EY2n(0.40.4)(8
13、002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元3(2017北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解：(1)由题图知，
14、在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为15500.3(2)由题图可知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7的有 2 人(A 和 C)所以 的所有可能取值为 0,1,2P(0)C22C2416，P(1)C12C12C24 23，P(2)C22C2416所以 的分布列为012P162316故 的期望 E0161232161(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差【技法总结】(1)求离散型随机变量的均值和方差的两个步骤定型，即先判断
15、随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应(2)利用均值、方差进行决策的2个方略当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策考情分析此部分内容在高考中逐渐被淡化，近年来，正态分布的题目越来越少正态分布主要以选择题、填空题的形式考查，分值5分专题四 正态分布高考冲浪1(20
16、15山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%解析：由 N(0,32)，得 P(33)68.26%，P(66)95.44%，P(36)12P(66)P(33)13.59%.故选 B答案：B2(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件
17、的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：995 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.041026 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经 计 算 得 x 116 i116x i 9.97，s 11
18、6i116xi x2 116i116x2i16 x20.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i1,2，16用样本平均数 x作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计 和(精确到 0.01)附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.0080.09解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故 XB(16,0.002 6)因此 P(X1)
19、1P(X0)10.997 4160.040 8.X 的数学期望 EX160.002 60.041 6(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由 x9.97，s0.212，得 的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)
20、之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为115(169.979.22)10.02因此 的估计值为 10.02i116x2i160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 115(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此 的估计值为 0.0080.09【技法总结】求解正态总体在某个区间内取值的概率的2个关键点(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)点击进入WORD链接谢谢观看！
