1、第二章 参数方程1 参数方程的概念 学习目标重点难点1.掌握参数方程的概念1.重点是参数方程的概念2.通过实例体会参数方程中参数的几何意义.2.难点是参数方程中参数的几何意义.并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在_，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作_，简称_.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的_.阅读教材：1 参数方程的概念的有关内容，完成下列问题1参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t 的函数xft，ygt，这条曲线上参变数参数普通方程
2、2参数的理解(1)参数的意义：参数t是联系变数x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数(2)参数的取值范围：在参数方程中，应明确参数t的取值范围对于参数方程xf(t)，yg(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线_.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为_.可能是不同的xf(t)和yg(t)这两个函数的自然定义域的交集参数方程中的参数t可以取哪些量？提示：参数方程中的参数t可以取某种物理量(如时间)，也可以取某种几何量(如角度)，也可以是没有明显实际意义的变数下列方程可以作为 x 轴的参数方程的是()Axt21，y0(t 为参数)Bx0，y
3、3t1(t 为参数)Cx1sin，y0(为参数)Dx4t1，y0(t 为参数)解析：因为x轴上的点的纵坐标为0，横坐标可以为任意实数，故选D.答案：D参数方程的概念已知曲线 C 的参数方程为xt21，y2t(t 为参数)(1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系；(2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值解：(1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，得1t21，02t，解得t0，所以点 A(1,0)在曲线 C 上把点 B(5,4)的坐标代入方程组，得5t21，42t，解得 t2，所以点 B(5,4)在曲线 C 上把 点 E(3,2)的 坐 标
4、代 入 方 程 组，得 到3t21，22t，即t 2，t1.故方程组无解，所以点 E 不在曲线 C 上【点评】(1)已知点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程，代入可求得参数(2)已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，所以10t21，a2t，解得t3，a6或t3，a6.所以 a6.1在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程是x12t21，y3t2(t 为参数)(1)判断点 A(1，4)，B(3，1)与曲线 C 的位置关系；(2)求当 t3
5、时，曲线参数方程所确定的点的坐标解：(1)把点 A 的坐标(1，4)代入方程组，得 112t21，43t2，解得 t2，点 A(1，4)在曲线 C 上把点 B 的坐标(3，1)代入方程组，得312t21，13t2.这个方程组无解，因此点 B(3，1)不在曲线 C 上(2)把 t3 代入方程组，得x1232172，y33211.当 t3 时，曲线参数方程所确定的点的坐标是72，11.求曲线的参数方程如图所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于点M1，和过点A的切线交于点B，MM1OA，MBOA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程解
6、：设点 M 的坐标为 M(x，y)，弦 OM1 与 x 轴的夹角是，取 为参数，连接 AM1，则有 AM1OM1，OC2acos cos 2acos2，AB2atan，x2acos2，y2atan(为参数)，这就是所求的点 M 轨迹的参数方程【点评】求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程2已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程解：如图，设
7、C 点坐标为(x，y)，ABO，过点 C 作 x轴的垂线 CM，垂足为 M.则CBM120，所以xacos acos120，yasin120(为参数，090)为所求飞机以匀速v150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度)(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标？参数方程的应用解：(1)如图所示，设A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)记炸弹飞行的时间为t，在A点t0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点炸弹初速度v0150 m/s.用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得
8、xv0t，y58812gt2g9.8 m/s2，即x150t，y5884.9t2(t 为参数)这就是所求炸弹飞行曲线的参数方程【点评】(1)曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质，就灵活地选用相应曲线的对应方程形式(2)在实际问题中，要注意参数的取值范围，使参数方程有意义(2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y0，即 5884.9t200，所以 t02 30 s.所以 x01502 30300 301 643(m)即飞机在离目标 1 643 m(水平距离)处投弹才能命中目标3已知弹道曲线的参数方程为
9、x2tcos 6，y2tsin 612gt2(t 为参数)，g 为重力加速度(1)求炮弹从发射到落地所需时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度解：(1)令 y0，则 2tsin 612gt20，解得 t2g.所以炮弹从发射到落地所需要的时间为2g.(2)y2tsin 612gt212gt2t12gt22gt 12gt1g2 1g2 12gt1g2 12g，所以当 t1g时，y 取最大值 12g.即炮弹在运动中达到的最大高度为 12g.1普通方程与参数方程的区别普通方程反映的是曲线上任一点的坐标x，y间的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系2求曲线参数方程的主要步骤(1)建立平面直角坐标系，设动点M(x，y)是轨迹上任意一点(2)选择适当的参数参数的选择要注意两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显，容易列出方程，二是x，y的值可以由参数唯一确定在研究运动问题时，常选时间为参数；研究旋转问题时，以旋转角为参数(3)根据已知条件，图形的几何性质等建立动点坐标与参数的函数表达式3参数的确定在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(七)谢谢观看！
