1、第九单元立体几何初步第45讲空间几何体的结构及三视图、直观图1.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是()A互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B梯形的直观图可能是平行四边形C矩形的直观图可能是梯形D正方形的直观图可能是平行四边形2.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()3.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有()A0个 B1个C2个 D3个4.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()5.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45的等
2、腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是_6.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为_7.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆其中满足条件的序号是_8.如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积9.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求ab的最大值第46讲空间几何体的表面积和体积1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则
3、此几何体的体积为()A6 B9C12 D182.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.3.如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为()A14 B6C122 D1624.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a25.某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是_m3.6.矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为_7.已知H是球O的直径AB上一点，A
4、HHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积9.如图，正三棱锥OABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积第47讲空间点、线、面的位置关系1.已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0个 B1个C2个 D3个2.若直线l与平面不平行，则下列结论正确的是()A内的所有直线都与直线l异面B内不存在与l平行的直线C内的直线与l都相交D直线l与平面有公共点3.下列四个命
5、题：如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行则真命题是()A BC D4.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A. B.C. D.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AB，AA1，C1D1，CC1的中点，给出以下四个结论：AC1MN；AC1平面MNPQ；AC1与PM相交；NC1与PM异面
6、其中正确结论的序号是_6.下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中：BM与DE平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角； DM与BN垂直其中真命题的序号是_7.四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有对8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、
7、DA三线共点第48讲空间中的平行关系1.若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b2.设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl23.设，是两个平面，l，m是两条直线，下列命题中，可以判断的是()Al，m，且l，mBl，m，且mCl，m，且lmDl，m，且lm4.下列命题中正确的是_若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个
8、平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交5.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.6.考察下列三个命题，请在“_”处添加一个条件，构成真命题(其中l，m为直线，为平面)，则l； l；.7.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是_8.求证：一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线必与它们的交线平行9.如图，在
9、正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?第49讲空间中的垂直关系1.直线l不垂直于平面，则内与l垂直的直线有()A0条 B1条C无数条 D内的所有直线2.若三个平面，之间有，则与()A垂直 B平行C相交 D以上三种可能都有3.已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l4.已知直线l，m与平面，满足l，l，m，m，则有()A且m B且lmCm且lm D且5.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异
10、于A和B的动点，且PCAC，则BC与AC的位置关系是.6.已知a，b是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则；若，则；若，a，b，则ab；若，a，b，则ab.其中正确命题的序号有_7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是_(写出满足条件的一个平面即可)8.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点，求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.9.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面
11、PCD；(2)平面BEF平面PAD.第50讲空间角及计算1.平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为()A30 B60C90 D1502.在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为()A30 B45C60 D903.三棱锥PABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，ACa，则二面角APBC的大小为()A90 B30C45 D604.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A. B.C. D.5.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直
12、，体积为，底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.6.二面角l的平面角为120，A，Bl，AC，BD，ACl，BDl，若ABACBD1，则CD的长为.7.已知AOB90，过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA，OB分别成45，60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_8.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120，G为线段PC上的点(1)证明：BD平面PAC; (2)若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值9.如图所示，AF，DE分别是O，O1的直径，AD与两圆所
13、在的平面均垂直，AD8，BC是O的直径，ABAC6，OEAD.(1)求二面角BADF的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值第51讲空间距离及计算、展开与折叠问题1.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为()A. B.C.a3 D.a32.若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为()A. B.C. D.3.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则直线A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1C. D.4.A、B是直线l上的两点，AB4，ACl于A，BDl于B，ACBD3，又AC与
14、BD成60的角，则C，D两点间的距离是_5.在等边ABC中，M，N分别为AB，AC上的点，满足AMAN2，沿MN将AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为60，则A点到平面MNCB的距离为_6.设PA垂直RtABC所在的平面，BAC90，PB、PC分别与成45和30角，PA2，则PA与BC的距离是_；点P到BC的距离是_7.如图，ABCD与ABEF均是边长为a的正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_8.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，BB1c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长9.如图，在长方体A
15、BCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，A1A1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离第九单元立体几何初步第45讲空间几何体的结构及三视图、直观图1D由斜二测画法的规则可知答案为D.2B由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A，D，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C，故选B.3.C由三视图可知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C.4B由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.58作DEAB于
16、E，CFAB于F，则AEBFADcos 451，所以CDEF3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，A90，AB5，CD3，AD2，所以S四边形ABCD(53)28.61该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为121.7由三视图的成图原则可知，正视图、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为正方形，圆8解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥(2)该几何体的侧视图如右图其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BCa.AD是正六棱锥的高，即ADa，所以该平面图形的面积Saaa2.9解析：如图，PA，PC平面ABCD，PD为PA
17、的正视图，AC为俯视图，PB为侧视图，则AD1.设PCh，ABx.又，得a2b28.因为()2，所以ab24.第46讲空间几何体的表面积和体积1B由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面边长为6，高为3的等腰三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以几何体的体积为V6339，故选B.2A该几何体为底面是直角边为a的等腰直角三角形，高为a的直三棱柱，其体积为aaa，故选A.3C据三视图可知几何体为一正三棱柱，其中侧棱长为2，底面三角形边上的高为，即底面三角形边长为2，故其表面积S322222122.4B由题意，球的直径是长方体的体对角线，所以2ra，S4r26a2，故选B.5.设圆锥的底面圆的半径
18、为r，高为h，则由2r，得r，h，所以该圆锥的体积V()2(m3)6.易知外接球球心O即为AC的中点，故球半径rAC，所以Vr3()3.7.过H的截面与球体上下分别交于M、N两点，三角形AMN为直角三角形，因为MH1，由射影定理可知，AH，BH，所以球体的半径为，故表面积S4.8解析：(1)直观图如图所示：(2)(方法一)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则AA1EB是正方形，所以AA1BE1.在RtBEB1中，BE1，EB11，所以BB1.所以几何体的表面积SS正方形AA
19、1D1D2S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形ABCDS矩形A1B1C1D112(12)111127(m2)所以几何体的体积V121(m3)，所以该几何体的表面积为(7)m2，体积为 m3.(方法二)几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，V直四棱柱D1C1CDA1B1BASh(12)11(m3)所以几何体的表面积为(7)m2，体积为 m3.9解析：三棱锥OABC的体积VOABCSABC122.设O在平面ABC中的射影为Q，BC的中点为E，则OQ1，OE2OQ2EQ212()2OE.三棱锥OABC的表面积SOABC3SOBCSABC3，所以，三棱锥OAB
20、C的体积VOABC，表面积SOABC3.第47讲空间点、线、面的位置关系1Bb，c可能异面，也可能垂直；b，c可能异面，也可能平行，故选B.2DA中过公共点的直线与直线l相交，不异面，A错误；B、C中l在内时，内由无数多条直线与l平行，B、C错误直线l与平面不平行，则直线l与相交或在平面内，即l与有一个或无穷多个公共点，D正确，故选D.3B中满足条件的另一条直线也可能在平面中，不正确；中满足条件的无数条直线如果互相平行，那么这两个平面也可能相交，不正确排除，因此正确的命题是，故选B.4A因为CD平行于AB，则CD与PA所成角就是PAB，由余弦定理可得cos PAB，故选A.5由图形可以观察出A
21、C1与平面MNPQ相交于正方体中心，易知正确6还原正方体如图，可知：BM与ED是异面直线；CN与BE平行；CN与BM成60角；DM与BN是异面直线，且DM与BN垂直76因为四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，共6对8解析：在平面AA1D1D内，延长D1F.因为D1F与DA不平行，所以D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA.又因为FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以P平面BED1F，P平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB
22、.所以PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线，如图所示9证明：(1)分别连接EF、A1B、D1C.因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF綊A1B，又A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形所以A1BCD1，从而EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面所以E、F、D1、C四点共面(2)因为EF綊CD1，所以直线D1F和CE必相交，设D1FCEP，因为PD1F且D1F平面AA1D1D，所以P平面AA1D1D，又PEC且CE平面ABCD，所以P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD平面AA1D1DAD，所以PAD，所以CE、D1F、D
23、A三线共点第48讲空间中的平行关系1Db与相交或b或b，都可以2Bml1且nl2，m，n，l1，l2为内两条相交直线，则可得；若，l1，l2为内两条相交直线，则不一定有ml1且nl2，故选B.3D条件A中，增加l与m相交才能判断出，A错由条件B、C都有可能与相交，排除B和C.而垂直于同一直线的两个平面平行，D成立4aA时，a，所以错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab，b时，a或a，故错；l，l与无公共点，所以l与内任一直线都无公共点，正确；长方体ABCDA1B1C1D1中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，所以正确故填.5.a6lla与b
24、相交解析：根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l在平面外，均添加l；根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a与b相交7(8,10)设k，所以1k，所以GH5k，EH4(1k)，所以周长82k.又因为0k1，所以周长的取值范围为(8,10)8证明：(方法一)借助于平行直线的传递性如图所示，过a作一平面交平面于直线c.因为a，则ca，若c、b重合，命题成立；若c与b不重合，又因为a，所以c，而过c且与相交于b，所以cb，故ab.(方法二)利用同一法，如图所示，在平面与的交线b上任取一点A，过A作直线ba.因为a，所以b在内(一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点而与这
25、条直线平行的直线都在这个平面内)同理，a，所以b也在平面内因为b既在内，又在内，所以b即为平面与平面的交线，即b与b重合，所以ab.9解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以QBPA.又QB平面PAO，PA平面PAO，所以QB平面PAO.连接DB.因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，所以D1B平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.第49讲空间中的垂直关系1C2D垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，故选D.3C对于A，由lm，l，则m，与已知矛盾；对于B，由lm，
26、l，可知m或m，与已知矛盾；对于D，由lm，l可知m或m，与已知矛盾由此排除A，B，D，故选C.4Bm，m，又lml，故选B.5垂直因为PB，所以PBAC.又因为PCAC，且PCPBP，所以AC平面PBC，所以ACBC.6垂直于同一直线的两平面平行，正确；也成立，错；a、b也可异面，错；由面面平行性质知，ab，正确7平面ABD1连接AD1，在正方形ADD1A1中，AD1A1D，又AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以ABA1D.又AD1ABA，所以A1D平面ABD1，又A1D平面DA1C，故平面ABD1平面DA1C1.8证明：(1)在ABD中，因为E，F分别是AB，BD的中点，所以
27、EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.9证明：(1)因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EFPD，又因为PD平面PCD，EF平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)因为ABAD，BAD60，F是AD的中点，所以BFAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD，所以，平面BEF平面PAD.第50讲
28、空间角及计算1C本题易误选D，因斜线和内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90.2C3D取PB的中点为M，连接AM，CM，则AMPB，CMPB，所以AMC为二面角APBC的平面角，在等边PAB与等边PBC中知AMCMa，即AMC为正三角形，所以AMC60，故选D.4D由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，所以据分析，所求的余弦值是，故选D.5B设三棱柱ABCA1B1C1的高为h，所求的线面角为，由已知条件可得V()2h，所以h，PA2，所以sin ，所以.62过B作BE綊AC，连接CE，DE.则DBE即为二面角l的平面角易证CEDE，所
29、以CD2.7在OC上取一点C，使OC1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC1，OA，BC，OB2，RtAOB中，AB26，ABC中，由余弦定理，得cos ACB.8解析：(1)证明：设点O为AC，BC的交点由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线所以O为AC的中点，BDAC.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC.(2)连接OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得OGPA.在ABC中，AC2，所以OCAC.在直角OCD中，OD2，在直角OGD中，tan OGD
30、.所以DG与平面APC所成的角的正切值为.9解析：(1)因为AD与两圆所在的平面均垂直，所以ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角依题意可知，四边形ABFC是正方形，所以BAF45，即二面角BADF的大小为45.(2)连接OD，则ODEF，所以ODB为异面直线BD与EF所成的角在RtABD中，BD10，OAOB3.因为四边形ABFC是正方形，所以BOAF.又AD平面ABFC，所以ADBO，所以OB平面DAO，所以OBOD，故cos ODB.第51讲空间距离及计算、展开与折叠问题1D2C设同一顶点的三条棱分别为x，y，z，则x2y2a2，y2z2b2，x2z2c2，得x2y2z2(
31、a2b2c2)，则对角线长为.3.D直线A1C1平面ABCD，A1C1到底面ABCD的距离即为正棱柱的高h，tan 60，所以h，故选D.45或CD5或.5.在ABC中，过A点作AFBC交BC于F点，交MN于E点，由题意知折叠后AEF即为平面AMN与平面MNCB所成二面角的平面角，故AEF60，过A点作AHEF于H点，则AH即为A点到平面MNCB的距离，因为AE，所以AHAEsin 60.6.作ADBC于点D，因为PA面ABC，所以PAAD.所以AD是PA与BC的公垂线易得AB2，AC2，BC4，AD，连接PD，则PDBC，P到BC的距离PD.7.显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD30
32、，过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD，所以FG为EF与平面ABCD的距离，即FG.8解析：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：，因为abc0，所以abacbc0.故最短线路的长为.9解析：因为ABCDA1B1C1D1为长方体，故ABC1D1，ABC1D1，故ABC1D1为平行四边形，故BC1AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C.直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h，考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V(12)1.而AD1C中，ACD1C，AD1，故SAD1C，所以，Vhh，即直线BC1到平面D1AC的距离为.
