1、第2讲 二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理(ab)nC0nanb0C1nan1b1CrnanrbrCnna0bn，(nN*)所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n 的二项式展开式.2.二项式定理的特征(1)项数：二项式展开式共有_项.中的第 r1 项.(3)二项式系数：二项式展开式第 r1 项的二项式系数为_.(2)通项公式：Tr1Crnanrbr(r0,1,2，n)表示展开式n1Crn(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 CrnCnrn.(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间
2、一项的二项式系数2Cnn 最大；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn，12Cnn相等且最大.(3)各二项式系数的和：C0nC1nC2nCnn_，其中 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n1.3.二项式系数的性质2nA.10B.20C.40D.801.(2018 年新课标)x22x5 的展开式中 x4 的系数为()C解析：x22x5 的展开式中含 x4 的项为 C25(x2)32x240 x4.其系数为 40.2.(2014年新课标)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_.(用数字填写答案)20解析：由题
3、意(xy)(xy)8 的展开式中得到 x2y7 可能为xC78xy7yC68x2y6C78C68x2y720 x2y7，其系数为20.3.(2015年重庆)x3 12 x5的展开式中x8的系数是_.(用数字作答)52解析：二项展开式通项为 Tk1Ck5(x3)5k12 xk12kCk57152kx，令 157k2 8，解得 k2.因此 x8 的系数为122C25 52._.(用数字填写答案)4.(2016 年新课标)(2x x)5 的展开式中，x3 的系数是10解析：(2x x)5 的展开式的通项为 Cr5(2x)5r(x)r25rCr5x5 2r(r0,1,2，5)，令 5r23，得 r4.
4、所以 x3 的系数是 2C4510.考点 1 求二项展开式中待定项的系数或特定项数为()A.15B.20C.30D.35例 1：(1)(2017 年新课标)11x2(1x)6 展开式中 x2 的系答案：C解析：因为11x2(1x)61(1x)61x2(1x)6，则(1x)6展开式中含 x2 的项为 1C26x215x2，1x2(1x)6 展开式中含 x2 的项为1x2C46x415x2，故 x2 前系数为 151530.故选 C.(2)(2017年新课标)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A.80B.40C.40D.80答案：C解析：(xy)(2xy)5x(2xy)5y(2xy
5、)5，(2xy)5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr5(2x)5r(y)r 可得：Tr1Cr5(2x)5r(y)r25r(1)rCr5x5ryr.当 r3 时，x(2xy)5 展开式中 x3y3 的系数为 C3522(1)340；当 r2 时，y(2xy)5 展开式中 x3y3 的系数为 C2523(1)280；(xy)(2xy)5 的展开式中的 x3y3 的系数为 804040.(3)(2015年新课标)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案：C解析：方法一，(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)
6、3中含 x5的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2的系数为 C25C1330.方法二，(x2xy)5 表示 5 个 x2xy 之积.所以 x5y2 可从其中 5 个因式中选两个因式取 y，两个取 x2，一个取 x.因此 x5y2 的系数为 C25C23C1130.(4)(2018 年浙江)二项式8312xx的展开式的常数项是_.答案：7解析：二项式8312xx的展开式的常数项是 C28(3 x)612x287121227.(5)已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_.解析：(1x)10(1x)10(2)(1x)10，(1x)10a0a1(1x)a2(
7、1x)2a10(1x)10，故答案为 180.答案：180a8C810(2)2180.【规律方法】本题主要考查二项式定理及其运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和 k 的隐含条件，即 n，k 均为非负整数，且 nk)；第二步是根据所求的指数，再求特定项.开式的第 r1 项为：Tr1Crnanrbr(nN*且 n2，rN).解此考点 2 二项式系数和与各项的系数和例 2：在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3
8、)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.解：设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，由于是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.(1)二项式系数的和为 C010C110C1010210.(3)奇数项的二项式系数和为 C010C210C101029，偶数项的二项式系
9、数和为 C110C310C91029.(4)令 xy1，得到 a0a1a2a101，令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510，得 2(a0a2a10)1510.奇数项系数和为15102；，得 2(a1a3a9)1510.偶数项系数和为15102.【规律方法】“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可.(5)x 的奇次项系数和为 a1a3a5a915102；x 的偶次项系数和
10、为 a0a2a4a1015102.【互动探究】1.(2016 年上海)在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_.112解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n256.所以 n8.二项式展开式的通项为 Tr1Cr8(3 x)8r2xr(2)rCr8x8 43 3r.令8343r0，得 r2.所以 T3112.中常数项为()A.40B.20C.20D.402.xax 2x1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式解析：方法一，令 x1，得 a1.故原式x1x 2x1x5.2x1x5 的通项 Tr1Cr5(2x)5r(x1)rCr5(1)r25
11、rx52r，由52r1 得 r2，对应的常数项为 80，由 52r1，得 r3，对应的常数项为40，故所求的常数项为 40.故选 D.答案：D方法二，用组合提取法，把原式看作 6 个因式相乘，若第1 个括号提出 x，从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x，选 3 个提出1x；若第 1 个括号提出1x，从余下的括号中选 2 个提出1x，选 3个提出 x.故常数项xC25(2x)2C331x31xC251x2C33(2x)3408040.中常数项为()A.40B.20C.20D.403.x1x 2xax5 的展开式中各项系数之和为 2，则该展开式D解析：令 x1 代入得111 2a152，(2a
12、)51，a1.则该展开式中常数项为 xC35(2x)21x31xC25(2x)31x240.考点 3 二项式展开式中系数的最值问题(1)求 n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项.例 3：已知x12 xn 的展开式中前三项的系数成等差数列.解：(1)由题设，x12 xn 的展开式的通项公式为：Tr1Crnxnr12 xr12rCrnx32nr.故 C0n14C2n212C1n，即 n29n80.解得 n8，n1(舍去)，即 n8.(2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则 T5124C48x3842 358 x2.(3)设第 r1 项的系数最大，则12rCr
13、8 12r1Cr18，12rCr8 12r1Cr18，即 18r12r1，12r 19r.解得 r2 或 r3.故系数最大的项为 T37x5，T47x72.【规律方法】(1)求二项式系数最大项：若 n 是偶数，则中间一项第n21项 的二项式系数最大；若 n 是奇数，则中间两项第n12 项与第n32 项 的二项式系数相等且最大.(2)求展开式系数最大的项：如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应用AkAk1，AkAk1，从而解出 k.【互动探究】4.在32nxx的二项展开式中，只有第 5 项的二项式
14、系数最大，则二项展开式的常数项等于_.112解析：32nxx的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，n8.展开式的通项公式为 Tr1Cr8(2)rx8 43r，当84r30 时，r2，故它的常数项是 T3C28(2)2x0112.故答案为 112.易错、易混、易漏组合数公式的应用例题：(2016 年江苏)(1)求 7C364C47 的值；(2)设 m，nN*，nm，求证：(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2nCmn1(n1)Cmn(m1)Cm2n2.思路点拨：(1)根据组合数公式化简求值.(2)设置(1)目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的 Cmk Cm
15、1kCm1k1，还有可由(1)归纳出的(k1)Cmk(m1)Cm1k1(km，m1，n)；单纯从命题角度看，可视为关于 n 的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看作展开式(m1)(1x)m(m2)(1x)m1n(1x)n1(n1)(1x)n 中含 xm 项的系数，再利用错位相减求和得含 xm 项的系数，从而达到化简求证的目的.(1)解：7C364C4776543214765443210.(2)证明：当 nm 时，结论显然成立.当 nm 时，(k1)Cmk k1k！m！km！(m1)k1！m1！k1m1！(m1)Cm1k1，km1，m2，n.因为 Cm1k1 Cm2k1 Cm2
16、k2，所以(k1)Cmk(m1)(Cm2k2 Cm2k1)，km1，m2，n.因此(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2(n1)Cmn(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2(n1)Cmn(m1)Cm2m2(m1)(Cm2m3Cm2m2)(Cm2m4Cm2m3)(Cm2n2Cm2n1)(m1)Cm2n2.【规律方法】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关的命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型.组合数性质不仅有课本上介绍的 Cmk Cm1kCm1k1，Cmk Ckmk，还有 kCknnCk1n1，现在又有(k1)Cmk(m1)Cm1k1(km，m1，n)，这些性质不需要记忆，但要会推导，更要会应用.【互动探究】5.设 nN*，则 C1nC2n7C3n72Cnn7n1_.解析：C1nC2n7C3n72Cnn7n117(C1n7C2n72C3n73Cnn7n)17(C0nC1n7C2n72C3n73Cnn7n1)17(17)n1178n1.17(8n1)